Lança-se uma moeda 100 vezes e observa-se 40 caras. Podemos afirmar, ao nível de 5 %, que a moeda não é honesta?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o enunciado tá pedindo. A gente vai trabalhar com estatística, mais especificamente com teste de hipóteses. O problema é que lançamos uma moeda 100 vezes e deu 40 caras. Queremos saber se, com 95% de confiança (nível de 5%), podemos dizer que essa moeda não é justa, ou seja, que ela não tem 50% de chance de dar cara.

Passo 2

Primeiro, vamos montar as hipóteses que vamos testar:
  • Hipótese nula (H₀): A moeda é justa, então a probabilidade de dar cara é 0,5.
  • Hipótese alternativa (H₁): A moeda não é justa, ou seja, a probabilidade de dar cara é diferente de 0,5.

Passo 3

Agora, vamos calcular a proporção observada de caras nos 100 lançamentos.
p = número de carasnúmero total de lançamentos = 40100 = 0,4 úúç

Passo 4

Vamos calcular o erro padrão da proporção, que nos ajuda a entender a variação esperada da proporção se a hipótese nula for verdadeira.
Erro Padrão = raizp (1 - p)n = raiz0,5 times 0,5100 = 0,05 ã

Passo 5

Com o erro padrão, calculamos o estatístico de teste (z), que nos indica quantos erros padrões a nossa proporção observada está distante da proporção esperada sob H₀.
z = p - pErro Padrão = 0,4 - 0,50,05 = -0,10,05 = -2 ã

Passo 6

Precisamos encontrar o valor crítico para o nível de confiança de 95% (ou nível de significância de 5%) em um teste bicaudal. Consultando uma tabela z ou usando uma calculadora, sabemos que os valores críticos são aproximadamente -1,96 e 1,96.

Passo 7

Comparamos o nosso estatístico de teste com os valores críticos:
  • Se ou , rejeitamos H₀.
  • Se , não rejeitamos H₀.
No nosso caso, está abaixo de -1,96.

Resposta

Como o valor de z (-2) está além do limite crítico (-1,96), rejeitamos a hipótese nula. Portanto, ao nível de 5 %, podemos afirmar que a moeda não é honesta.

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