Um experimento de Bernoulli é aquele que fornece apenas dois possíveis resultados: 0 ou 1; sim ou não; ausente ou presente etc.
Seja X uma variável aleatória que segue uma distribuição de Bernoulli com probabilidade de sucesso igual a p. Determine:
b) A variância da distribuição

Passo 1

Beleza, então temos um experimento de Bernoulli, que basicamente tem só dois resultados possíveis: sucesso (1) ou fracasso (0). A variável aleatória segue essa distribuição com uma probabilidade de sucesso igual a . Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a variância dessa distribuição. Para isso, vamos precisar entender a fórmula da variância para a distribuição de Bernoulli e aplicar os conceitos básicos de probabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é variância. A variância mede o quanto os resultados de uma distribuição se espalham em relação à média. Para a distribuição de Bernoulli, que só tem dois valores possíveis, a variância pode ser calculada usando uma fórmula específica. A fórmula geral da variância Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 para uma variável aleatória é:
Onde é a expectativa (ou média) de .

Passo 3

No caso da distribuição de Bernoulli, sabemos que Var(X) = p - p^2 = p(1 - p) pode ser 0 ou 1. Então, a expectativa é simplesmente , porque a média ponderada dos possíveis valores de é .
Agora, vamos calcular . Como só pode ser 0 ou 1, também será 0 ou 1, então .
Substituindo esses valores na fórmula da variância:

Resposta

A variância da distribuição de Bernoulli é .

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