Um produtor de sementes vende pacotes com 20 sementes cada. Os pacotes que apresentarem mais de uma semente sem germinar são indenizados. A probabilidade de uma semente germinar é 0,98 .
c) Se um pacote é indenizado, o produtor tem um prejuíz de R ; e se o pacote não for indenizado, o produtor tem um lucro de ; e se o pacote não for indenizado, o produtor tem um lucro de . Determine o lucro líquido esperado por pacote.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a venda de pacotes com 20 sementes cada, onde o produtor tem que indenizar se mais de uma semente não germinar. A probabilidade de uma semente germinar é de 0,98. A gente precisa calcular o lucro líquido esperado por pacote, usando conceitos de probabilidade e distribuição binomial. Vamos precisar saber como calcular probabilidades para diferentes cenários de germinação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os cenários possíveis:
  • Indenização: Quando mais de uma semente não germina.
  • Lucro: Quando no máximo uma semente não germina.
Vamos definir:
  • (número de sementes por pacote)
  • (probabilidade de uma semente germinar)
  • (probabilidade de uma semente não germinar)

Passo 3

Agora, vamos calcular a probabilidade de cada cenário usando a distribuição binomial. A distribuição binomial nos ajuda a encontrar a probabilidade de um certo número de sucessos (ou falhas) em uma série de tentativas.
A probabilidade de exatamente P(X = k) = binomnk cdot p^n-k cdot q^k sementes não germinarem é dada por:
onde é o coeficiente binomial.

Passo 4

Queremos a probabilidade de mais de uma semente não germinar, ou seja, P(X >= 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) . Para isso, vamos calcular:
P(X = 0) = binom200 cdot 0,98^20 cdot 0,02^0 = 1 cdot 0,98^20 cdot 1 approx 0,6676
Vamos calcular P(X = 1) = binom201 cdot 0,98^19 cdot 0,02^1 = 20 cdot 0,98^19 cdot 0,02 approx 0,2725 e P(X >= 2) = 1 - 0,6676 - 0,2725 approx 0,0599 :
  • Para :
  • Para :
Então:

Passo 5

Agora, vamos definir o lucro esperado. O lucro depende de dois casos:
  • Pacote indenizado: perda de R$1,20
  • Pacote não indenizado: lucro de R$2,50
Então, o lucro líquido esperado 1,20 - **Pacote não indenizado**: lucro de R por pacote é:
E = P(não indenizado) cdot 2,50 + P(indenizado) cdot (-1,20) ã
Sabemos que:
P(não indenizado) = 1 - P(indenizado) = 1 - 0,0599 = 0,9401 ã
Então:
E = 0,9401 cdot 2,50 + 0,0599 cdot (-1,20)
E = 2,35025 - 0,07188
E approx 2,2784

Resposta

O lucro líquido esperado por pacote é de aproximadamente R$ 2,28.

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