Um produtor de sementes vende pacotes com 20 sementes cada. Os pacotes que apresentarem mais de uma semente sem germinar são indenizados. A probabilidade de uma semente germinar é 0,98 .
c) Se um pacote é indenizado, o produtor tem um prejuíz de
; e se o pacote não for indenizado, o produtor tem um lucro de
. Determine o lucro líquido esperado por pacote.
c) Se um pacote é indenizado, o produtor tem um prejuíz de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a venda de pacotes com 20 sementes cada, onde o produtor tem que indenizar se mais de uma semente não germinar. A probabilidade de uma semente germinar é de 0,98. A gente precisa calcular o lucro líquido esperado por pacote, usando conceitos de probabilidade e distribuição binomial. Vamos precisar saber como calcular probabilidades para diferentes cenários de germinação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os cenários possíveis:
- Indenização: Quando mais de uma semente não germina.
- Lucro: Quando no máximo uma semente não germina.
Vamos definir:
-
(número de sementes por pacote) -
(probabilidade de uma semente germinar) -
(probabilidade de uma semente não germinar)
Passo 3
Agora, vamos calcular a probabilidade de cada cenário usando a distribuição binomial. A distribuição binomial nos ajuda a encontrar a probabilidade de um certo número de sucessos (ou falhas) em uma série de tentativas.
A probabilidade de exatamente
sementes não germinarem é dada por:
onde
é o coeficiente binomial.
Passo 4
Queremos a probabilidade de mais de uma semente não germinar, ou seja,
. Para isso, vamos calcular:
Vamos calcular
e
:
- Para
:
- Para
:
Então:
Passo 5
Agora, vamos definir o lucro esperado. O lucro depende de dois casos:
- Pacote indenizado: perda de R$1,20
- Pacote não indenizado: lucro de R$2,50
Então, o lucro líquido esperado
por pacote é:
Sabemos que:
Então:
Resposta
O lucro líquido esperado por pacote é de aproximadamente R$ 2,28.
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a) Calcule a probabilidade de que um pacote não seja indenizado.
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Seja X uma variável aleatória que segue uma distribuição de Bernoulli com probabilidade de sucesso igual a p. Determine:
b) A variância da distribuição
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b) Se o produtor vende 1.000 pacotes, em quantos podem-se esperar indenização?
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