Em um experimento para determinar
, mediuse o período de oscilação de um pêndulo, obtevese os resultados que estão sintetizados na tabela abaixo:
L | T 2 | uL | uT 2 |
---|---|---|---|
1.20000 | 4.73937 | 0.00289 | 0.38244 |
1.40000 | 4.82564 | 0.00289 | 0.28517 |
1.60000 | 6.43326 | 0.00289 | 0.66894 |
1.80000 | 8.05186 | 0.00289 | 0.87268 |
2.00000 | 7.64722 | 0.00289 | 0.56728 |
Usou-se o fato de
. Sabe-se que o resultado da regresão linear, para um gráfico de
foi Slope
enquanto que para
LSlope
. Qual é o melhor valor de
conforme os resultados das medições?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um experimento para determinar a aceleração da gravidade, $ g $, usando um pêndulo. O que precisamos saber é como $ g $ está relacionado com o comprimento do pêndulo, $ L $, e o período de oscilação, $ T $. A fórmula que vamos usar é:
Então, vamos usar os dados da tabela e as informações da regressão linear para encontrar o melhor valor de $ g $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula que vamos usar. A equação $ g = \frac{4\pi^{2} L}{T^{2}} $ nos diz que $ g $ é diretamente proporcional ao comprimento do pêndulo $ L $ e inversamente proporcional ao quadrado do período $ T $. Isso significa que, se a gente conhece $ L $ e $ T $, podemos calcular $ g $.
Passo 3
Agora, vamos olhar para os resultados da regressão linear que a gente tem. Existem duas regressões:
- Gráfico de $ L $ vs $ T^{2} $: A inclinação (slope) é $ 4.28 \pm 0.79 $.
- Gráfico de $ T^{2} $ vs $ L $: A inclinação é $ 0.19029 \pm 0.00094 $.
A inclinação do primeiro gráfico é relacionada à fórmula que a gente tem para $ g $. Sabendo que $ g = \frac{4\pi^{2} L}{T^{2}} $, a inclinação dessa regressão nos dá o valor de $ \frac{4\pi^{2}}{g} $.
Passo 4
Vamos calcular $ g $ usando a inclinação do primeiro gráfico. A inclinação $ m = 4.28 $ nos dá:
Substituindo $ m = 4.28 $:
Passo 5
Agora, vamos considerar as incertezas. A inclinação tem uma incerteza de $ \pm 0.79 $. Para propagar essa incerteza na fórmula de $ g $:
Resposta
O melhor valor de $ g $ conforme os resultados das medições é: