Para medir a densidade do material de uma esfera regular, são utilizados uma balança digital para medir a massa m e um paquímetro para medir o diâmetro d. Sabe-se que a resolução da balança é 0.1 g , enquanto a resolução do paquímetro é 0.05 mm . Repetindo a medição da massa m 10 vezes são obtidos os seguintes valores em g:
56.7; 56.8; 57.3; 57.1; 56.7;
57.0; 56.5; 56.8; 57.4; 56.8;
Repetindo a medição do diâmetro d 10 vezes são obtidos os seguintes valores em cm:
5.000; 5.045; 5.000; 5.015; 5.030;
4.985; 4.985; 4.970; 4.965; 5.025;
O resultado da medição para a densidade é:
circ rho & =(0.86848 pm 0.00025) g / cm^3 rho & =(0.10856 pm 0.00025) g / cm^3 rho & =(0.1086 pm 0.0046) g / cm^3 rho & =(0.8685 pm 0.0046) g / cm^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir a densidade de uma esfera usando as medições de massa e diâmetro que foram feitas. Para isso, vamos usar conceitos de média, volume de uma esfera e propagação de incertezas. Vamos calcular a média das medições, encontrar o volume da esfera com base no diâmetro médio e, por fim, determinar a densidade com a sua incerteza.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média das massas. Temos 10 medições de massa em gramas:
56.7; 56.8; 57.3; 57.1; 56.7; 57.0; 56.5; 56.8; 57.4; 56.8
Para encontrar a média, somamos todos esses valores e dividimos por 10:
Média da massa = 56.7 + 56.8 + 57.3 + 57.1 + 56.7 + 57.0 + 56.5 + 56.8 + 57.4 + 56.810 é
Média da massa = 567.110 = 56.71 , g é

Passo 3

Agora, vamos calcular a média dos diâmetros. As medições em centímetros são:
5.000; 5.045; 5.000; 5.015; 5.030; 4.985; 4.985; 4.970; 4.965; 5.025
Calculando a média:
Média do diâmetro = 5.000 + 5.045 + 5.000 + 5.015 + 5.030 + 4.985 + 4.985 + 4.970 + 4.965 + 5.02510 éâ
Média do diâmetro = 49.98510 = 4.9985 , cm éâ
Arredondando para três casas decimais (já que a resolução do paquímetro é 0.05 mm):
Média do diâmetro approx 5.000 , cm éâ

Passo 4

Agora vamos calcular o volume da esfera usando a fórmula:
V = 43 pi r^3
Primeiro, precisamos do raio, que é metade do diâmetro:
r = d2 = 5.0002 = 2.500 , cm
Agora, substituindo na fórmula do volume:
V = 43 pi (2.500)^3 = 43 pi (15.625) = 43 times 3.1416 times 15.625 approx 65.45 , cm^3

Passo 5

Com a massa média e o volume, podemos calcular a densidade:
rho = mV = 56.71 , g65.45 , cm^3 approx 0.867 , g/cm^3

Passo 6

Agora, vamos calcular a incerteza na densidade. Para isso, usamos a propagação de incertezas. As incertezas nas medições são:
  • Balança: 0.1 g
  • Paquímetro: 0.05 mm = 0.005 cm
Primeiro, a incerteza na massa média:
De
E a incerteza no diâmetro médio:
De
Como o volume depende do diâmetro ao cubo, a incerteza relativa no volume é três vezes a incerteza relativa no raio (ou diâmetro):
De
Então, a incerteza no volume:
De
Agora, para a densidade:
De
Então, a incerteza na densidade:
De

Resposta

rho = (0.867 pm 0.0013) , g/cm^3

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