Um experimento de genética envolve 6 genótipos mutuamente excludentes identificados por A, B, C, D, E e F, todos igualmente prováveis. Testados 20 indivíduos, determine a probabilidade de obter exatamente: 5 A ; 4 B ; 3 C ; 2 D ; 3 E ; 3 F.

Passo 1

Vamos resumir o problema: temos 6 genótipos (A, B, C, D, E e F) que são mutuamente exclusivos e igualmente prováveis. Queremos saber a probabilidade de, ao testar 20 indivíduos, obter exatamente 5 A, 4 B, 3 C, 2 D, 3 E e 3 F.
O conteúdo que vamos usar aqui é a probabilidade multinomial, que é útil quando temos mais de duas possibilidades de resultados em um experimento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a probabilidade de cada genótipo. Como todos são igualmente prováveis e existem 6 genótipos, a probabilidade de qualquer genótipo específico ocorrer é:
p = 16

Passo 3

Agora, precisamos calcular a probabilidade de obter exatamente 5 A, 4 B, 3 C, 2 D, 3 E e 3 F em 20 testes. Para isso, usamos a fórmula da probabilidade multinomial:
P = n!xA! , xB! , xC! , xD! , xE! , xF! times pA^xA times pB^xB times pC^xC times pD^xD times pE^xE times pF^xF
Onde:
  • (número total de testes)
  • , , , , , (número de ocorrências de cada genótipo)

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula, temos:
P = 20!5! , 4! , 3! , 2! , 3! , 3! times (16)^5 times (16)^4 times (16)^3 times (16)^2 times (16)^3 times (16)^3
Simplificando os potes de probabilidade:
P = 20!5! , 4! , 3! , 2! , 3! , 3! times (16)^20

Passo 5

Para calcular essa expressão, precisamos primeiro calcular o fatorial de 20 e os fatoriais dos números individuais:
20! = 2,432,902,008,176,640,000
5! = 120, 4! = 24, 3! = 6, 2! = 2
Substituindo esses valores:
P = 2,432,902,008,176,640,000120 times 24 times 6 times 2 times 6 times 6 times (16)^20
Calculando o denominador:
120 times 24 = 2,880
2,880 times 6 = 17,280
17,280 times 2 = 34,560
34,560 times 6 = 207,360
207,360 times 6 = 1,244,160
Então:
P = 2,432,902,008,176,640,0001,244,160 times (16)^20
Calculando a divisão:
2,432,902,008,176,640,0001,244,160 approx 1,954,565,200
Portanto:
P approx 1,954,565,200 times (16)^20

Resposta

A probabilidade de obter exatamente 5 A, 4 B, 3 C, 2 D, 3 E e 3 F em 20 indivíduos é aproximadamente:
P approx 1,954,565,200 times (16)^20 approx 1,9545 times 10^9 times 1,6538 times 10^-16 approx 3,23 times 10^-7
Ou seja, aproximadamente 0,0000323.

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