Um experimento de genética envolve 6 genótipos mutuamente excludentes identificados por A, B, C, D, E e F, todos igualmente prováveis. Testados 20 indivíduos, determine a probabilidade de obter exatamente: 5 A ; 4 B ; 3 C ;
.
Passo 1
Vamos resumir o problema: temos 6 genótipos (A, B, C, D, E e F) que são mutuamente exclusivos e igualmente prováveis. Queremos saber a probabilidade de, ao testar 20 indivíduos, obter exatamente 5 A, 4 B, 3 C, 2 D, 3 E e 3 F.
O conteúdo que vamos usar aqui é a probabilidade multinomial, que é útil quando temos mais de duas possibilidades de resultados em um experimento.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a probabilidade de cada genótipo. Como todos são igualmente prováveis e existem 6 genótipos, a probabilidade de qualquer genótipo específico ocorrer é:
Passo 3
Agora, precisamos calcular a probabilidade de obter exatamente 5 A, 4 B, 3 C, 2 D, 3 E e 3 F em 20 testes. Para isso, usamos a fórmula da probabilidade multinomial:
Onde:
-
(número total de testes) -
, , , , , (número de ocorrências de cada genótipo)
Passo 4
Substituindo os valores na fórmula, temos:
Simplificando os potes de probabilidade:
Passo 5
Para calcular essa expressão, precisamos primeiro calcular o fatorial de 20 e os fatoriais dos números individuais:
Substituindo esses valores:
Calculando o denominador:
Então:
Calculando a divisão:
Portanto:
Resposta
A probabilidade de obter exatamente 5 A, 4 B, 3 C, 2 D, 3 E e 3 F em 20 indivíduos é aproximadamente:
Ou seja, aproximadamente 0,0000323.