Sabe-se pela experiência, que 2 % das chamadas recebidas por uma mesa telefônica são para números errados. Com a aproximação de Poisson da distribuição Binomial, determine a probabilidade de três dentre 200 chamadas recebidas pela mesa serem para número errado.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma mesa telefônica que recebe chamadas, e sabemos que 2% dessas chamadas são para números errados. Queremos descobrir qual a probabilidade de, em 200 chamadas, exatamente 3 sejam para números errados. Para resolver isso, vamos usar a aproximação de Poisson da distribuição Binomial. Isso nos ajuda a simplificar cálculos quando estamos lidando com eventos raros ou com um grande número de tentativas.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar os valores que vamos usar na fórmula. Na distribuição Binomial, geralmente trabalhamos com dois parâmetros: o número de tentativas (n) e a probabilidade de sucesso § em cada tentativa. Aqui, temos:
  • Número de chamadas (n): 200
  • Probabilidade de chamada errada §: 2% ou 0,02

Passo 3

A aproximação de Poisson é útil quando n é grande e p é pequeno, o que é o caso aqui. Para usar a distribuição de Poisson, calculamos o parâmetro λ (lambda), que é igual a n multiplicado por p:
lambda = n times p = 200 times 0,02 = 4

Passo 4

Agora, vamos usar a fórmula da distribuição de Poisson para encontrar a probabilidade de exatamente k eventos ocorrerem. A fórmula é:
P(k) = e^-lambda times lambda^kk!
Onde:
  • é a base do logaritmo natural (aproximadamente 2,718)
  • é o fatorial de k

Passo 5

Substituindo os valores que temos na fórmula para encontrar a probabilidade de exatamente 3 chamadas erradas:
P(3) = e^-4 times 4^33! = e^-4 times 646

Passo 6

Agora, vamos calcular os valores numéricos:
e^-4 approx 0,0183
4^3 = 64
3! = 6
Então:
P(3) = 0,0183 times 646 approx 1,17126 approx 0,1952

Resposta

A probabilidade de exatamente 3 dentre 200 chamadas serem para números errados é aproximadamente 19,52%.

Exercícios relacionados