Geólogos estimam o tempo decorrido desde o resfriamento mais recente de um mineral contando o número de vestígios de fissões de urânio na superfície do mineral. Um determinado tipo de mineral tem uma idade tal que deve ter uma média de 6 vestígios por da área superficial. Considere que o número de vestígios em uma área segue um a distribuição de Poisson. Seja o número de vestígios contado em de área superficial. Determine:
a)
b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um mineral que, ao longo do tempo, acumula vestígios de fissões de urânio na sua superfície. Os geólogos querem saber quanto tempo passou desde o último resfriamento desse mineral, e para isso contam esses vestígios. Sabemos que, em média, há 6 vestígios por centímetro quadrado (cm²) da área superficial. A distribuição que descreve esse tipo de contagem é a Distribuição de Poisson. Vamos usar essa distribuição para determinar:
a) A probabilidade de encontrar exatamente 7 vestígios em 1 cm².
b) A probabilidade de encontrar pelo menos 3 vestígios em 1 cm².

Passo 2

Primeiro, vamos entender a Distribuição de Poisson. Ela é usada para modelar o número de eventos que ocorrem em um intervalo fixo de tempo ou espaço, quando esses eventos ocorrem com uma taxa média conhecida e de forma independente. A fórmula da distribuição de Poisson é:
Onde:
  • é a probabilidade de exatamente eventos ocorrerem.
  • é a média de eventos por intervalo (neste caso, 6 vestígios por cm²).
  • é a constante de Euler (~2,71828).
  • é o fatorial de .

Passo 3

a) Probabilidade de encontrar exatamente 7 vestígios (P(X = 7))
Vamos aplicar a fórmula da Poisson com e :
Vamos calcular passo a passo:
  1. Calcular :
  2. Calcular : aproximadamente
  3. Calcular :
  4. Substituir na fórmula:
Então, a probabilidade é aproximadamente 13,76%.

Passo 4

b) Probabilidade de encontrar pelo menos 3 vestígios (P(X ≥ 3))
Para calcular , podemos utilizar a complementar, ou seja:
Vamos calcular cada parte usando a fórmula da Poisson:
  1. P(X = 0):
  1. P(X = 1):
  1. P(X = 2):
Agora, somamos essas probabilidades:
Então, a probabilidade de ter pelo menos 3 vestígios é:
Convertendo para porcentagem, temos aproximadamente 93,80%.

Resposta

a) A probabilidade de encontrar exatamente 7 vestígios em 1 cm² é de aproximadamente 13,76%.
b) A probabilidade de encontrar pelo menos 3 vestígios em 1 cm² é de aproximadamente 93,80%.

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