Geólogos estimam o tempo decorrido desde o resfriamento mais recente de um mineral contando o número de vestígios de fissões de urânio na superfície do mineral. Um determinado tipo de mineral tem uma idade tal que deve ter uma média de 6 vestígios por cm^2 da área superficial. Considere que o número de vestígios em uma área segue um a distribuição de Poisson. Seja X o número de vestígios contado em 1 cm^2 de área superficial. Determine:
a) P(X=7)
b) P(X >= 3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um mineral que, ao longo do tempo, acumula vestígios de fissões de urânio na sua superfície. Os geólogos querem saber quanto tempo passou desde o último resfriamento desse mineral, e para isso contam esses vestígios. Sabemos que, em média, há 6 vestígios por centímetro quadrado (cm²) da área superficial. A distribuição que descreve esse tipo de contagem é a Distribuição de Poisson. Vamos usar essa distribuição para determinar:
a) A probabilidade de encontrar exatamente 7 vestígios em 1 cm².
b) A probabilidade de encontrar pelo menos 3 vestígios em 1 cm².

Passo 2

Primeiro, vamos entender a Distribuição de Poisson. Ela é usada para modelar o número de eventos que ocorrem em um intervalo fixo de tempo ou espaço, quando esses eventos ocorrem com uma taxa média conhecida e de forma independente. A fórmula da distribuição de Poisson é:
P(X = k) = lambda^k e^-lambdak!
Onde:
  • é a probabilidade de exatamente eventos ocorrerem.
  • é a média de eventos por intervalo (neste caso, 6 vestígios por cm²).
  • é a constante de Euler (~2,71828).
  • é o fatorial de .

Passo 3

a) Probabilidade de encontrar exatamente 7 vestígios (P(X = 7))
Vamos aplicar a fórmula da Poisson com P(X = 7) = 6^7 times e^-67! e P(X = 7) = 279936 times 0,002478755040 approx 694,365040 approx 0,1376 :
Vamos calcular passo a passo:
  1. Calcular :
  2. Calcular : aproximadamente
  3. Calcular :
  4. Substituir na fórmula:
Então, a probabilidade é aproximadamente 13,76%.

Passo 4

b) Probabilidade de encontrar pelo menos 3 vestígios (P(X ≥ 3))
Para calcular P(X >= 3) = 1 - P(X < 3) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)] , podemos utilizar a complementar, ou seja:
P(X = 0) = 6^0 times e^-60! = 1 times e^-61 = e^-6 approx 0,00247875
Vamos calcular cada parte usando a fórmula da Poisson:
  1. P(X = 0):
P(X = 1) = 6^1 times e^-61! = 6 times e^-61 = 6 times 0,00247875 approx 0,0148725
  1. P(X = 1):
P(X = 2) = 6^2 times e^-62! = 36 times e^-62 = 18 times 0,00247875 approx 0,0446175
  1. P(X = 2):
P(X < 3) = 0,00247875 + 0,0148725 + 0,0446175 approx 0,06196875
Agora, somamos essas probabilidades:
P(X >= 3) = 1 - 0,06196875 approx 0,93803125
Então, a probabilidade de ter pelo menos 3 vestígios é:
Convertendo para porcentagem, temos aproximadamente 93,80%.

Resposta

a) A probabilidade de encontrar exatamente 7 vestígios em 1 cm² é de aproximadamente 13,76%.
b) A probabilidade de encontrar pelo menos 3 vestígios em 1 cm² é de aproximadamente 93,80%.

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