Geólogos estimam o tempo decorrido desde o resfriamento mais recente de um mineral contando o número de vestígios de fissões de urânio na superfície do mineral. Um determinado tipo de mineral tem uma idade tal que deve ter uma média de 6 vestígios por
da área superficial. Considere que o número de vestígios em uma área segue um a distribuição de Poisson. Seja
o número de vestígios contado em
de área superficial. Determine:
a)
b)
a)
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um mineral que, ao longo do tempo, acumula vestígios de fissões de urânio na sua superfície. Os geólogos querem saber quanto tempo passou desde o último resfriamento desse mineral, e para isso contam esses vestígios. Sabemos que, em média, há 6 vestígios por centímetro quadrado (cm²) da área superficial. A distribuição que descreve esse tipo de contagem é a Distribuição de Poisson. Vamos usar essa distribuição para determinar:
a) A probabilidade de encontrar exatamente 7 vestígios em 1 cm².
b) A probabilidade de encontrar pelo menos 3 vestígios em 1 cm².
Passo 2
Primeiro, vamos entender a Distribuição de Poisson. Ela é usada para modelar o número de eventos que ocorrem em um intervalo fixo de tempo ou espaço, quando esses eventos ocorrem com uma taxa média conhecida e de forma independente. A fórmula da distribuição de Poisson é:
Onde:
-
é a probabilidade de exatamente eventos ocorrerem. -
é a média de eventos por intervalo (neste caso, 6 vestígios por cm²). -
é a constante de Euler (~2,71828). -
é o fatorial de .
Passo 3
a) Probabilidade de encontrar exatamente 7 vestígios (P(X = 7))
Vamos aplicar a fórmula da Poisson com
e
:
Vamos calcular passo a passo:
- Calcular
: - Calcular
: aproximadamente - Calcular
: - Substituir na fórmula:
Então, a probabilidade é aproximadamente 13,76%.
Passo 4
b) Probabilidade de encontrar pelo menos 3 vestígios (P(X ≥ 3))
Para calcular
, podemos utilizar a complementar, ou seja:
Vamos calcular cada parte usando a fórmula da Poisson:
- P(X = 0):
- P(X = 1):
- P(X = 2):
Agora, somamos essas probabilidades:
Então, a probabilidade de ter pelo menos 3 vestígios é:
Convertendo para porcentagem, temos aproximadamente 93,80%.
Resposta
a) A probabilidade de encontrar exatamente 7 vestígios em 1 cm² é de aproximadamente 13,76%.
b) A probabilidade de encontrar pelo menos 3 vestígios em 1 cm² é de aproximadamente 93,80%.
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