Em um experimento de laboratório, 400 indivíduos de uma espécie animal foram submetidos a testes de radiação, para verificar o tempo de sobrevivência da espécie. Verificou-se que o modelo matemático que determina o número de indivíduos sobreviventes, em função do tempo era N(t)= C.At com o tempo t dado em dias e A e C dependiam do tipo de radiação. Três dias após o inicio do experimento, havia 50 indivíduos. Quantos indivíduos vivos existiam no quarto dia após o início do experimento?
A) 40
B) 30
C) 25
D) 20
E) 10

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem um experimento de laboratório com 400 animais que foram expostos à radiação, e queremos descobrir quantos sobreviveram depois de alguns dias. A matéria envolvida é de crescimento ou decaimento exponencial, onde usamos funções exponenciais para modelar a quantidade de indivíduos ao longo do tempo. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula $ N(t) = C \cdot A^t $, onde $ N(t) $ é o número de indivíduos sobreviventes no tempo $ t $, e $ C $ e $ A $ são constantes que dependem do tipo de radiação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que sabemos:
  • No início ($ t = 0 $), temos 400 indivíduos.
  • Depois de 3 dias ($ t = 3 $), restam 50 indivíduos.
Vamos usar esses dados para encontrar as constantes $ C $ e $ A $ na nossa fórmula.

Passo 3

Quando $ t = 0 $:
t = 0
Como inicialmente temos 400 indivíduos, temos:
N(0) = C cdot A^0 = C cdot 1 = C
Então, nossa fórmula fica:
C = 400

Passo 4

Agora, vamos usar o segundo dado: após 3 dias, restam 50 indivíduos. Substituindo na fórmula:
50 = 400 cdot A^3
Queremos encontrar $ A $, então vamos isolar $ A^3 $:
A
A^3

Passo 5

Para encontrar $ A $, tiramos a raiz cúbica de ambos os lados:
A
A = raiz[3]18
Então, a constante $ A $ é $ \frac{1}{2} $.

Passo 6

Agora que temos $ C = 400 $ e $ A = \frac{1}{2} $, nossa fórmula completa é:
C = 400

Passo 7

Queremos saber quantos indivíduos existem no quarto dia ($ t = 4 $):
t = 4
N(4) = 400 cdot ( 12 )^4
N(4) = 400 cdot 116

Resposta

A quantidade de indivíduos vivos no quarto dia é 25.

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