Em um experimento de laboratório, 400 indivíduos de uma espécie animal foram submetidos a testes de radiação, para verificar o tempo de sobrevivência da espécie. Verificou-se que o modelo matemático que determina o número de indivíduos sobreviventes, em função do tempo era N(t)= C.At com o tempo t dado em dias e A e C dependiam do tipo de radiação. Três dias após o inicio do experimento, havia 50 indivíduos. Quantos indivíduos vivos existiam no quarto dia após o início do experimento?
A) 40
B) 30
C) 25
D) 20
E) 10
A) 40
B) 30
C) 25
D) 20
E) 10
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem um experimento de laboratório com 400 animais que foram expostos à radiação, e queremos descobrir quantos sobreviveram depois de alguns dias. A matéria envolvida é de crescimento ou decaimento exponencial, onde usamos funções exponenciais para modelar a quantidade de indivíduos ao longo do tempo. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula $ N(t) = C \cdot A^t $, onde $ N(t) $ é o número de indivíduos sobreviventes no tempo $ t $, e $ C $ e $ A $ são constantes que dependem do tipo de radiação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o que sabemos:
- No início ($ t = 0 $), temos 400 indivíduos.
- Depois de 3 dias ($ t = 3 $), restam 50 indivíduos.
Vamos usar esses dados para encontrar as constantes $ C $ e $ A $ na nossa fórmula.
Passo 3
Quando $ t = 0 $:
Como inicialmente temos 400 indivíduos, temos:
Então, nossa fórmula fica:
Passo 4
Agora, vamos usar o segundo dado: após 3 dias, restam 50 indivíduos. Substituindo na fórmula:
Queremos encontrar $ A $, então vamos isolar $ A^3 $:
Passo 5
Para encontrar $ A $, tiramos a raiz cúbica de ambos os lados:
Então, a constante $ A $ é $ \frac{1}{2} $.
Passo 6
Agora que temos $ C = 400 $ e $ A = \frac{1}{2} $, nossa fórmula completa é:
Passo 7
Queremos saber quantos indivíduos existem no quarto dia ($ t = 4 $):
Resposta
A quantidade de indivíduos vivos no quarto dia é 25.