Um experimento com quatro tratamentos qualitativos (x1, x2, x3 e x4) e três repetições por tratamento instalado sob o DIC, foi realizado com o objetivo de verificar os efeitos dos mesmos sobre a força de resistência de sacolas de mercearia (Y), em psi. É sabido que, em termos paramétricos, quanto maior a média e menor a variância, melhor é o tratamento. Para este experimento, considere satisfeitas as pressuposições associadas aos erros experimentais (alpha=0,05).
Valores observados de Y
Repetição Tratamento
x1 x2 x3 x4
1 11 17 18 23
2 9 16 19 18
3 10 18 15 20
Resíduos
Repetição Tratamento
x1 x2 x3 x4
1 1 0 0,6667 2,6667
2 -1 -1 1,6667 -2,3333
3 0 1 -2,3333 -0,3333
a) De acordo com o teste F da ANOVA, as médias de Y dos quatro tratamentos são iguais entre si? Por quê?
b) De acordo com o resultado do item (a) e, caso seja necessária a aplicação do teste de Tukey, qual(is) é(são) o(s) melhor(es) tratamento(s)? Por quê?
c) Qual é a avaliação da precisão experimental? Por quê?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente analisar se as médias das quatro sacolas de mercearia são iguais usando ANOVA, que é uma técnica estatística. A gente vai precisar calcular algumas somas de quadrados, médias quadráticas e o teste F. Além disso, se necessário, vamos usar o teste de Tukey pra ver qual tratamento se destaca. Também vamos avaliar a precisão do experimento.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados. Temos quatro tratamentos ( x1, x2, x3, x4) e três repetições cada. As observações de Y são:
  • x1: 11, 9, 10
  • x2: 17, 16, 18
  • x3: 18, 19, 15
  • x4: 23, 18, 20
Vamos calcular as médias de cada tratamento:
barYx1 &= 11 + 9 + 103 = 10 barYx2 &= 17 + 16 + 183 approx 17 barYx3 &= 18 + 19 + 153 approx 17.33 barYx4 &= 23 + 18 + 203 approx 20.33

Passo 3

Agora, vamos calcular a média geral ( barY):
barY = 10 + 17 + 17.33 + 20.334 = 64.664 approx 16.165

Passo 4

Vamos calcular a Soma Total dos Quadrados (SQ Total):
SQTotal = sumi=1^n(Yij - barY)^2
Calculando para cada valor:
(11 - 16.165)^2 &approx 26.73 (9 - 16.165)^2 &approx 84.67 (10 - 16.165)^2 &approx 38.02 (17 - 16.165)^2 &approx 0.69 (16 - 16.165)^2 &approx 0.03 (18 - 16.165)^2 &approx 3.46 (18 - 16.165)^2 &approx 3.46 (19 - 16.165)^2 &approx 8.06 (15 - 16.165)^2 &approx 1.37 (23 - 16.165)^2 &approx 46.89 (18 - 16.165)^2 &approx 3.46 (20 - 16.165)^2 &approx 14.66
Somando tudo:
SQTotal approx 26.73 + 84.67 + 38.02 + 0.69 + 0.03 + 3.46 + 3.46 + 8.06 + 1.37 + 46.89 + 3.46 + 14.66 approx 222.46

Passo 5

Agora, vamos calcular a Soma dos Quadrados dos Tratamentos (SQ Tratamentos):
SQTratamentos = 3[(barYx1 - barY)^2 + (barYx2 - barY)^2 + (barYx3 - barY)^2 + (barYx4 - barY)^2]
Calculando cada diferença:
(barYx1 - barY)^2 &= (10 - 16.165)^2 approx 37.99 (barYx2 - barY)^2 &= (17 - 16.165)^2 approx 0.69 (barYx3 - barY)^2 &= (17.33 - 16.165)^2 approx 1.35 (barYx4 - barY)^2 &= (20.33 - 16.165)^2 approx 17.28
Somando:
SQTratamentos = 3(37.99 + 0.69 + 1.35 + 17.28) = 3(57.31) approx 171.93

Passo 6

Agora, a Soma dos Quadrados dos Erros (SQ Erros) é:
SQErros = SQTotal - SQTratamentos approx 222.46 - 171.93 approx 50.53

Passo 7

Vamos determinar os graus de liberdade:
GLTotal &= n times k - 1 = 12 - 1 = 11 GLTratamentos &= k - 1 = 4 - 1 = 3 GLErros &= GLTotal - GLTratamentos = 11 - 3 = 8
Onde n é o total de observações e k é o número de tratamentos.

Passo 8

Calculando as Médias Quadráticas:
MQTratamentos &= SQTratamentosGLTratamentos = 171.933 approx 57.31 MQErros &= SQErrosGLErros = 50.538 approx 6.316

Passo 9

Agora, calculamos o valor do teste F:
F = MQTratamentosMQErros = 57.316.316 approx 9.07

Passo 10

Vamos comparar o valor de F calculado com o valor crítico da tabela F para alpha = 0,05, GLTratamentos = 3 e GLErros = 8. Consultando a tabela F, o valor crítico é aproximadamente 4.07.
Como 9.07 > 4.07, rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

a) Pelo teste F da ANOVA, como o valor calculado (9.07) é maior que o valor crítico (4.07) para alpha = 0,05, rejeitamos a hipótese nula. Isso significa que as médias de Y dos quatro tratamentos não são iguais entre si.

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