Um experimento realizado para estudar várias características de pinos de ferro resultou em 10 observações sobre a resistência de corte (kip) de pinos de polegada de diâmetro e 13 observações sobre a resistência de pinos de polegada de diâmetro. Os resultados obtidos foram: NOTA:
PINOS
Pino diâmetro 3/8 10 6,140 0,9
Pino diâmetro 1/2 13 4,250 1,3
Construir um intervalo de confiança de 98% para diferença entre as resistências médias de corte, supondo normalidade das duas populações e variâncias distintas. Interpretar.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício que pede para construir um intervalo de confiança de 98% para a diferença entre as resistências médias de corte de dois tipos de pinos de ferro, com diâmetros de e polegada. A matéria envolvida aqui é Estatística, especificamente sobre Intervalo de Confiança para a diferença de médias quando as variâncias são distintas. Vamos precisar usar a fórmula do intervalo de confiança para duas médias com variâncias diferentes e a distribuição t de Student.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
  • Pino de diâmetro polegada:
    • Tamanho da amostra ( ): 10
    • Média ( ): 6,140 kips
    • Desvio padrão ( ): 0,9 kips
  • Pino de diâmetro polegada:
    • Tamanho da amostra ( ): 13
    • Média ( ): 4,250 kips
    • Desvio padrão ( ): 1,3 kips
Queremos encontrar o intervalo de confiança para a diferença das médias: .

Passo 3

Como as variâncias são distintas e não conhecemos a população, usamos a fórmula do intervalo de confiança para duas médias com variâncias diferentes, que é:
Onde:
  • é o valor crítico da distribuição t para o nível de confiança desejado.
  • é a variância da diferença das médias.

Passo 4

Primeiro, calculamos o valor crítico . Como o nível de confiança é de 98%, o nível de significância é 0,02. Como estamos lidando com duas caudas, dividimos por 2: 0,01 para cada lado.
Precisamos determinar os graus de liberdade (df) usando a fórmula de Welch:
Vamos calcular isso:
Calculando passo a passo:
Somando:
Elevando ao quadrado:
Agora, o denominador:
Finalmente:
Arredondamos para 21 graus de liberdade.

Passo 5

Agora, vamos encontrar o valor crítico para um nível de confiança de 98% e 21 graus de liberdade. Consultando uma tabela t ou usando uma calculadora, encontramos que .

Passo 6

Vamos calcular a margem de erro:

Passo 7

Agora, aplicamos a fórmula do intervalo de confiança:
Então, o intervalo de confiança é de a kips.

Resposta

O intervalo de confiança de 98% para a diferença entre as resistências médias de corte dos pinos é de a kips. Isso significa que estamos 98% confiantes de que a média da resistência do pino de polegada é entre e kips maior que a do pino de polegada.

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