Um experimento realizado para estudar várias características de pinos de ferro resultou em 10 observações sobre a resistência de corte (kip) de pinos de
polegada de diâmetro e 13 observações sobre a resistência de pinos de
polegada de diâmetro. Os resultados obtidos foram: NOTA:
PINOS |
|
|
|
---|---|---|---|
Pino diâmetro 3/8 | 10 | 6,140 | 0,9 |
Pino diâmetro 1/2 | 13 | 4,250 | 1,3 |
Construir um intervalo de confiança de 98% para diferença entre as resistências médias de corte, supondo normalidade das duas populações e variâncias distintas. Interpretar.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício que pede para construir um intervalo de confiança de 98% para a diferença entre as resistências médias de corte de dois tipos de pinos de ferro, com diâmetros de
e
polegada. A matéria envolvida aqui é Estatística, especificamente sobre Intervalo de Confiança para a diferença de médias quando as variâncias são distintas. Vamos precisar usar a fórmula do intervalo de confiança para duas médias com variâncias diferentes e a distribuição t de Student.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
-
Pino de diâmetro
polegada: - Tamanho da amostra (
): 10 - Média (
): 6,140 kips - Desvio padrão (
): 0,9 kips
- Tamanho da amostra (
-
Pino de diâmetro
polegada: - Tamanho da amostra (
): 13 - Média (
): 4,250 kips - Desvio padrão (
): 1,3 kips
- Tamanho da amostra (
Queremos encontrar o intervalo de confiança para a diferença das médias:
.
Passo 3
Como as variâncias são distintas e não conhecemos a população, usamos a fórmula do intervalo de confiança para duas médias com variâncias diferentes, que é:
Onde:
-
é o valor crítico da distribuição t para o nível de confiança desejado. -
é a variância da diferença das médias.
Passo 4
Primeiro, calculamos o valor crítico
. Como o nível de confiança é de 98%, o nível de significância
é 0,02. Como estamos lidando com duas caudas, dividimos
por 2: 0,01 para cada lado.
Precisamos determinar os graus de liberdade (df) usando a fórmula de Welch:
Vamos calcular isso:
Calculando passo a passo:
Somando:
Elevando ao quadrado:
Agora, o denominador:
Finalmente:
Arredondamos para 21 graus de liberdade.
Passo 5
Agora, vamos encontrar o valor crítico
para um nível de confiança de 98% e 21 graus de liberdade. Consultando uma tabela t ou usando uma calculadora, encontramos que
.
Passo 6
Vamos calcular a margem de erro:
Passo 7
Agora, aplicamos a fórmula do intervalo de confiança:
Então, o intervalo de confiança é de
a
kips.
Resposta
O intervalo de confiança de 98% para a diferença entre as resistências médias de corte dos pinos é de
a
kips. Isso significa que estamos 98% confiantes de que a média da resistência do pino de
polegada é entre
e
kips maior que a do pino de
polegada.
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