Um experimento realizado para estudar várias características de pinos de ferro resultou em 10 observações sobre a resistência de corte (kip) de pinos de 3 / 8 polegada de diâmetro e 13 observações sobre a resistência de pinos de 1 / 2 polegada de diâmetro. Os resultados obtidos foram: NOTA: 1 kip=4,448 kN
PINOS n barX S
Pino diâmetro 3/8 10 6,140 0,9
Pino diâmetro 1/2 13 4,250 1,3
Construir um intervalo de confiança de 98% para diferença entre as resistências médias de corte, supondo normalidade das duas populações e variâncias distintas. Interpretar.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício que pede para construir um intervalo de confiança de 98% para a diferença entre as resistências médias de corte de dois tipos de pinos de ferro, com diâmetros de 3/8 e 1/2 polegada. A matéria envolvida aqui é Estatística, especificamente sobre Intervalo de Confiança para a diferença de médias quando as variâncias são distintas. Vamos precisar usar a fórmula do intervalo de confiança para duas médias com variâncias diferentes e a distribuição t de Student.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
  • Pino de diâmetro 3/8 polegada:
    • Tamanho da amostra ( n1): 10
    • Média ( barX1): 6,140 kips
    • Desvio padrão ( S1): 0,9 kips
  • Pino de diâmetro 1/2 polegada:
    • Tamanho da amostra ( n2): 13
    • Média ( barX2): 4,250 kips
    • Desvio padrão ( S2): 1,3 kips
Queremos encontrar o intervalo de confiança para a diferença das médias: barX1 - barX2.

Passo 3

Como as variâncias são distintas e não conhecemos a população, usamos a fórmula do intervalo de confiança para duas médias com variâncias diferentes, que é:
(barX1 - barX2) pm t^* times raizS1^2n1 + S2^2n2
Onde:
  • t^* é o valor crítico da distribuição t para o nível de confiança desejado.
  • S1^2n1 + S2^2n2 é a variância da diferença das médias.

Passo 4

Primeiro, calculamos o valor crítico t^*. Como o nível de confiança é de 98%, o nível de significância alpha é 0,02. Como estamos lidando com duas caudas, dividimos alpha por 2: 0,01 para cada lado.
Precisamos determinar os graus de liberdade (df) usando a fórmula de Welch:
df = ( S1^2n1 + S2^2n2 )^2( S1^2n1 )^2n1 - 1 + ( S2^2n2 )^2n2 - 1
Vamos calcular isso:
df = ( 0,9^210 + 1,3^213 )^2( 0,9^210 )^210 - 1 + ( 1,3^213 )^213 - 1
Calculando passo a passo:
0,9^210 = 0,8110 = 0,081
1,3^213 = 1,6913 approx 0,13
Somando:
0,081 + 0,13 = 0,211
Elevando ao quadrado:
0,211^2 approx 0,0445
Agora, o denominador:
0,081^29 + 0,13^212 = 0,0065619 + 0,016912 approx 0,000729 + 0,001408 approx 0,002137
Finalmente:
df = 0,04450,002137 approx 20,81
Arredondamos para 21 graus de liberdade.

Passo 5

Agora, vamos encontrar o valor crítico t^* para um nível de confiança de 98% e 21 graus de liberdade. Consultando uma tabela t ou usando uma calculadora, encontramos que t^* approx 2,518.

Passo 6

Vamos calcular a margem de erro:
ME = t^* times raizS1^2n1 + S2^2n2 = 2,518 times raiz0,9^210 + 1,3^213 = 2,518 times raiz0,081 + 0,13 = 2,518 times raiz0,211 approx 2,518 times 0,46 approx 1,16

Passo 7

Agora, aplicamos a fórmula do intervalo de confiança:
(barX1 - barX2) pm ME = (6,140 - 4,250) pm 1,16 = 1,89 pm 1,16
Então, o intervalo de confiança é de 0,73 a 3,05 kips.

Resposta

O intervalo de confiança de 98% para a diferença entre as resistências médias de corte dos pinos é de 0,73 a 3,05 kips. Isso significa que estamos 98% confiantes de que a média da resistência do pino de 3/8 polegada é entre 0,73 e 3,05 kips maior que a do pino de 1/2 polegada.

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