Suponha que amostras aleatórias de tamanho 5 sejam repetidamente extraídas (sem reposição) de uma população finita de tamanho
. Suponha que a média e o desvio padrão da população sejam 18 e 5 , respectivamente. Calcule a média e a variância da distribuição amostral médias.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre tirar amostras de tamanho 5 de uma população de 50 elementos. A média da população é 18 e o desvio padrão é 5. Nosso objetivo aqui é encontrar a média e a variância da distribuição das médias amostrais. Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de estatística, como média amostral e variância amostral, especialmente considerando que estamos tirando amostras sem reposição.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre a média da distribuição amostral das médias. Na estatística, sabemos que a média das médias amostrais (
E(𝑋̄)
) é igual à média da população (μ
). Isso quer dizer que, se tirarmos várias amostras e calcularmos a média de cada uma delas, a média dessas médias vai ser a mesma da população.Então, aplicando isso ao nosso caso:
Passo 3
Agora, vamos calcular a variância da distribuição amostral das médias. A variância nos diz o quanto as médias amostrais tendem a se dispersar em torno da média da população.
A fórmula para a variância da média amostral (
Var(𝑋̄)
) quando estamos tirando amostras sem reposição de uma população finita é:Onde:
-
é a variância da população,sigma^2 = 5^2 = 25 -
é o tamanho da amostra,n = 5 -
é o tamanho da população.N = 50
Vamos substituir os valores:
Então:
Resposta
A média da distribuição amostral das médias é 18 e a variância é aproximadamente 4,59.