Suponha que amostras aleatórias de tamanho 5 sejam repetidamente extraídas (sem reposição) de uma população finita de tamanho N=50. Suponha que a média e o desvio padrão da população sejam 18 e 5 , respectivamente. Calcule a média e a variância da distribuição amostral médias.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre tirar amostras de tamanho 5 de uma população de 50 elementos. A média da população é 18 e o desvio padrão é 5. Nosso objetivo aqui é encontrar a média e a variância da distribuição das médias amostrais. Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de estatística, como média amostral e variância amostral, especialmente considerando que estamos tirando amostras sem reposição.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a média da distribuição amostral das médias. Na estatística, sabemos que a média das médias amostrais (E(𝑋̄)) é igual à média da população (μ). Isso quer dizer que, se tirarmos várias amostras e calcularmos a média de cada uma delas, a média dessas médias vai ser a mesma da população.
Então, aplicando isso ao nosso caso:
E(X) = mu = 18

Passo 3

Agora, vamos calcular a variância da distribuição amostral das médias. A variância nos diz o quanto as médias amostrais tendem a se dispersar em torno da média da população.
A fórmula para a variância da média amostral (Var(𝑋̄)) quando estamos tirando amostras sem reposição de uma população finita é:
Var(X) = sigma^2n times N - nN - 1
Onde:
  • sigma^2 = 5^2 = 25 é a variância da população,
  • n = 5 é o tamanho da amostra,
  • N = 50 é o tamanho da população.
Vamos substituir os valores:
Var(X) = 255 times 50 - 550 - 1 = 5 times 4549 = 22549 approx 4,59
Então:

Resposta

A média da distribuição amostral das médias é 18 e a variância é aproximadamente 4,59.

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