Qual o tamanho mínimo de amostra para se estimar a média de uma população cujo desvio padrão é igual a 12, com confiança de 95% e precisão igual a 3? Supor que a amostragem é obtida sem reposição de uma população com 2.000 elementos.

Passo 1

Então, o que a gente precisa aqui é descobrir qual o tamanho mínimo da amostra para estimar a média de uma população. A gente sabe que o desvio padrão dessa população é 12, queremos ter 95% de confiança na nossa estimativa e queremos que essa estimativa seja precisa até 3 unidades. Além disso, estamos falando de uma amostragem sem reposição de uma população de 2.000 elementos. Vamos usar conceitos de estatística inferencial, especialmente relacionados ao cálculo do tamanho de amostra para estimar uma média com precisão e confiança específicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para estimar uma média com um determinado nível de confiança e precisão, usamos a fórmula do tamanho da amostra que considera o desvio padrão da população, o nível de confiança e a margem de erro desejada. A fórmula básica é:
n = ( Z times sigmaE )^2
Onde:
  • é o tamanho da amostra
  • é o valor z correspondente ao nível de confiança
  • é o desvio padrão da população
  • é a margem de erro (precisão)

Passo 3

Para um nível de confiança de 95%, o valor de correspondente é aproximadamente 1,96. Esse valor vem da tabela da distribuição normal padrão e representa o número de desvios padrão que cobre 95% da distribuição.

Passo 4

Substituindo os valores conhecidos na fórmula:
Z = 1,96
sigma = 12
E = 3
Então:
n = ( 1,96 times 123 )^2

Passo 5

Vamos calcular o numerador primeiro:
1,96 times 12 = 23,52
Agora, dividimos pelo erro desejado:
23,523 = 7,84
E, finalmente, elevamos ao quadrado:
n = (7,84)^2 = 61,47
Como não podemos ter uma fração de pessoa na amostra, arredondamos para cima:
n approx 62

Passo 6

No entanto, como a população é finita (2.000 elementos) e estamos fazendo amostragem sem reposição, precisamos aplicar a correção para população finita (CPF). A fórmula ajustada é:
najustado = n1 + n - 1N
Onde najustado = 621 + 62 - 12000 = 621 + 612000 = 621 + 0,0305 = 621,0305 approx 60,22 .
Substituindo:
najustado approx 61
Arredondando novamente:

Resposta

O tamanho mínimo da amostra necessário é de 61 elementos.

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