A field is expressed in spherical coordinates by E=aR(25 / R^2).
a) Find |E| and Ex at the point P(-3,4,-5).
b) Find the angle that E makes with the vector B=ax 2-ay 2+az at point P.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um campo elétrico expresso em coordenadas esféricas e nos pede para encontrar a magnitude de e a componente no ponto , além de determinar o ângulo que forma com um outro vetor naquele ponto. Para isso, vamos precisar usar conceitos de coordenadas esféricas, conversão para coordenadas cartesianas, e noções de produto escalar para calcular o ângulo entre vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a magnitude de E = aR ( 25R^2 ) no ponto R = raizx^2 + y^2 + z^2 . A fórmula do campo elétrico é dada por:
R = raiz(-3)^2 + 4^2 + (-5)^2 = raiz9 + 16 + 25 = raiz50 = 5raiz2
Aqui, é a distância do ponto à origem. Para encontrar , usamos a fórmula da distância no espaço:
Substituindo os valores de :

Passo 3

Agora, calculamos a magnitude de |E| = 25R^2 usando a expressão:
|E| = 25(5raiz2)^2 = 2525 times 2 = 2550 = 0,5 , N/C
Substituindo :

Passo 4

Para encontrar a componente E = |E| cdot aR , precisamos converter o vetor Ex = |E| cdot xR de coordenadas esféricas para cartesianas. Sabemos que:
Ex = 0,5 times -35raiz2 = 0,5 times -35raiz2 = -310raiz2 approx -0,212 , N/C
E em coordenadas cartesianas, a componente de é dada por:
Substituindo os valores que já temos:

Passo 5

Agora, para a parte (b), queremos encontrar o ângulo entre E = |E| cdot aR = 0,5 cdot ( -35raiz2 ax + 45raiz2 ay + -55raiz2 az ) e E = ( -310raiz2 ax + 410raiz2 ay + -510raiz2 az ) . Primeiro, vamos expressar B = 2ax - 2ay + az em forma cartesianas. Já sabemos que:
E cdot B = |E| cdot |B| cdot cos(theta)
Simplificando:
theta = arccos( E cdot B|E| cdot |B| )
O vetor é dado por:
Para encontrar o ângulo entre e , usamos a fórmula do produto escalar:
Rearranjando para encontrar :

Passo 6

Vamos calcular cada parte:
Primeiro, o produto escalar E cdot B = ( -310raiz2 ) times 2 + ( 410raiz2 ) times (-2) + ( -510raiz2 ) times 1 :
= -610raiz2 + -810raiz2 + -510raiz2 = -1910raiz2
|B| = raiz2^2 + (-2)^2 + 1^2 = raiz4 + 4 + 1 = raiz9 = 3
Agora, a magnitude de theta = arccos( -1910raiz20,5 times 3 ) = arccos( -1910raiz2 times 1,5 ) = arccos( -1915raiz2 ) :
theta approx arccos( -1915 times 1,4142 ) approx arccos( -1921,213 ) approx arccos(-0,895) approx 153,4^circ
Substituindo na fórmula do ângulo:
Calculando o valor numérico:

Resposta

a) A magnitude de em é e a componente .
b) O ângulo que forma com o vetor em é aproximadamente .

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