A field is expressed in spherical coordinates by
.
a) Find
and
at the point
.
b) Find the angle that
makes with the vector
at point
.
a) Find
b) Find the angle that
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um campo elétrico expresso em coordenadas esféricas e nos pede para encontrar a magnitude de
e a componente
no ponto
, além de determinar o ângulo que
forma com um outro vetor
naquele ponto. Para isso, vamos precisar usar conceitos de coordenadas esféricas, conversão para coordenadas cartesianas, e noções de produto escalar para calcular o ângulo entre vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a magnitude de
no ponto
. A fórmula do campo elétrico é dada por:
Aqui,
é a distância do ponto
à origem. Para encontrar
, usamos a fórmula da distância no espaço:
Substituindo os valores de
:
Passo 3
Agora, calculamos a magnitude de
usando a expressão:
Substituindo
:
Passo 4
Para encontrar a componente
, precisamos converter o vetor
de coordenadas esféricas para cartesianas. Sabemos que:
E em coordenadas cartesianas, a componente
de
é dada por:
Substituindo os valores que já temos:
Passo 5
Agora, para a parte (b), queremos encontrar o ângulo entre
e
. Primeiro, vamos expressar
em forma cartesianas. Já sabemos que:
Simplificando:
O vetor
é dado por:
Para encontrar o ângulo
entre
e
, usamos a fórmula do produto escalar:
Rearranjando para encontrar
:
Passo 6
Vamos calcular cada parte:
Primeiro, o produto escalar
:
Agora, a magnitude de
:
Substituindo na fórmula do ângulo:
Calculando o valor numérico:
Resposta
a) A magnitude de
em
é
e a componente
.
b) O ângulo que
forma com o vetor
em
é aproximadamente
.