Prove that an angle inscribed in a semicircle is a right angle.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para provar que um ângulo inscrito em uma semicircunferência é um ângulo reto. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria sobre ângulos inscritos em círculos e propriedades das semicircunferências.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um ângulo inscrito. Um ângulo inscrito é aquele cujo vértice está em um ponto da circunferência e seus lados são cordas do círculo. No nosso caso, o ângulo está inscrito em uma semicircunferência, o que significa que os dois lados do ângulo formam um diâmetro do círculo.

Passo 3

Sabemos que um diâmetro divide a circunferência em duas partes iguais, formando uma semicircunferência. Se considerarmos dois pontos na circunferência ligados pelo diâmetro, qualquer ângulo formado com um terceiro ponto nessa semicircunferência deve ser analisado.

Passo 4

A propriedade fundamental que vamos utilizar é que o ângulo inscrito em uma semicircunferência (onde os dois lados do ângulo são o diâmetro) é sempre um ângulo reto, ou seja, de 90 graus. Essa propriedade é derivada do fato de que o triângulo formado por esses três pontos é um triângulo retângulo.

Passo 5

Para comprovar isso, vamos desenhar o triângulo formado pelos dois pontos finais do diâmetro e pelo ponto onde o ângulo está inscrito. Nesse triângulo, temos:
  • Dois lados iguais ao raio do círculo.
  • O lado formado pelo diâmetro, que é o dobro do raio.
Segundo o Teorema de Pitot, em um triângulo onde um lado é o diâmetro e os outros dois são raios, o ângulo oposto ao diâmetro é reto.

Passo 6

Portanto, concluímos que o ângulo inscrito em uma semicircunferência é de 90 graus, ou seja, é um ângulo reto.

Resposta

Um ângulo inscrito em uma semicircunferência é um ângulo reto, ou seja, mede .

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