Explique o que devemos supor a respeito da forma da energia potencial de forma a tornar a separação possível, e qual é o significado físico desta hipótese.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para a gente explicar o que precisamos supor sobre a forma da energia potencial para que possamos separar as variáveis, ou seja, simplificar o problema. Além disso, precisamos entender o que essa suposição significa fisicamente. Para resolver isso, vamos precisar saber um pouco sobre como a energia potencial pode ser dividida e o que isso implica nos movimentos das partículas ou sistemas que estamos estudando.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre separação de variáveis. Isso é uma técnica usada para simplificar equações complexas, dividindo-as em partes menores que dependem de apenas uma variável cada. No contexto da energia potencial, queremos que ela possa ser escrita de uma forma que facilite essa divisão.
Passo 3
Para que a separação seja possível, devemos supor que a energia potencial
pode ser expressa como uma soma de funções, onde cada função depende de apenas uma coordenada independente. Matemáticamente, isso significa que:
Aqui,
,
e
são funções que dependem apenas de
,
e
, respectivamente.
Passo 4
Essa forma separada da energia potencial implica que não há interação direta entre as diferentes coordenadas. Ou seja, o movimento em uma direção (como
) não afeta diretamente o movimento nas outras direções (
e
). Isso simplifica muito a resolução das equações de movimento, pois podemos tratar cada coordenada de forma independente.
Passo 5
Significado físico dessa hipótese: Quando a energia potencial é separável como descrito, significa que as forças atuando no sistema são independentes em cada direção. Por exemplo, num sistema onde
, a força na direção
não depende de
ou
, e assim por diante. Isso reflete a ausência de acoplamentos ou interações entre as diferentes direções do movimento.
Resposta
Para tornar a separação possível, devemos supor que a energia potencial pode ser expressa como a soma de funções independentes de cada coordenada, ou seja:
Fisicamente, essa hipótese significa que as forças agindo em cada direção são independentes umas das outras, permitindo que o movimento em cada coordenada seja tratado separadamente.
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Usando uma extensão do processo que leva a:
obtenha a equação de Schrödinger para uma partícula de massa
se movendo em três dimensões (descritas por coordenadas retangulares
e
).
Calcule o valor esperado de
, e o valor esperado de
, para a partícula associada à função de onda:
Se as paredes do tanque têm espessura
e șoo feitas de aluminio (
, calcule a massa total de aluminio necessária para construir o tanque. Use Pappus-Guldinus para calcular a área de superficie
. Dica:
volume de alumínio é
.
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do centro do disco. O disco é deslocado de um pequeno ângulo (em relação a sua posição de equilíbrio) e liberado. Ache o período de oscilação do pêndulo.