Usando uma extensão do processo que leva a:
obtenha a equação de Schrödinger para uma partícula de massa se movendo em três dimensões (descritas por coordenadas retangulares e ).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos pede para estender a equação de Schrödinger de uma dimensão para três dimensões. A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com a mecânica quântica, especificamente com a equação de Schrödinger dependente do tempo. Para resolver, vamos precisar entender como generalizar essa equação para três coordenadas espaciais: , e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em uma dimensão, a energia cinética está relacionada à segunda derivada da função de onda em relação à posição. Em três dimensões, precisamos considerar a energia cinética em todas as três direções ( , , ). Isso é feito usando o operador laplaciano, que em coordenadas retangulares é dado por:

Passo 3

Agora, substituímos o operador cinético unidimensional pela versão tridimensional usando o laplaciano. A energia potencial em três dimensões depende de , , e possivelmente do tempo , então escrevemos .

Passo 4

Montando a equação completa, temos que a energia total (energia cinética mais potencial) atua na função de onda , resultando na derivada temporal da função de onda. Assim, a equação de Schrödinger em três dimensões fica:

Resposta

A equação de Schrödinger para uma partícula de massa se movendo em três dimensões é:

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