Usando uma extensão do processo que leva a:
-hbar^22 m partial^2partial x^2+V(x, t)=i hbar partialpartial t
obtenha a equação de Schrödinger para uma partícula de massa m se movendo em três dimensões (descritas por coordenadas retangulares x, y e z ).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos pede para estender a equação de Schrödinger de uma dimensão para três dimensões. A equação que temos é:
-hbar^22 m partial^2partial x^2 + V(x, t) = i hbar partialpartial t
Aqui, estamos lidando com a mecânica quântica, especificamente com a equação de Schrödinger dependente do tempo. Para resolver, vamos precisar entender como generalizar essa equação para três coordenadas espaciais: x, y e z.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em uma dimensão, a energia cinética está relacionada à segunda derivada da função de onda em relação à posição. Em três dimensões, precisamos considerar a energia cinética em todas as três direções ( x, y, z). Isso é feito usando o operador laplaciano, que em coordenadas retangulares é dado por:
nabla^2 = partial^2partial x^2 + partial^2partial y^2 + partial^2partial z^2

Passo 3

Agora, substituímos o operador cinético unidimensional pela versão tridimensional usando o laplaciano. A energia potencial V em três dimensões depende de x, y, z e possivelmente do tempo t, então escrevemos V(x, y, z, t).

Passo 4

Montando a equação completa, temos que a energia total (energia cinética mais potencial) atua na função de onda Psi(x, y, z, t), resultando na derivada temporal da função de onda. Assim, a equação de Schrödinger em três dimensões fica:
-hbar^22 m nabla^2 Psi(x, y, z, t) + V(x, y, z, t) Psi(x, y, z, t) = i hbar partial Psi(x, y, z, t)partial t

Resposta

A equação de Schrödinger para uma partícula de massa m se movendo em três dimensões é:
-hbar^22 m ( partial^2partial x^2 + partial^2partial y^2 + partial^2partial z^2 ) Psi(x, y, z, t) + V(x, y, z, t) Psi(x, y, z, t) = i hbar partial Psi(x, y, z, t)partial t

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