Usando uma extensão do processo que leva a:
obtenha a equação de Schrödinger para uma partícula de massa
se movendo em três dimensões (descritas por coordenadas retangulares
e
).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos pede para estender a equação de Schrödinger de uma dimensão para três dimensões. A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com a mecânica quântica, especificamente com a equação de Schrödinger dependente do tempo. Para resolver, vamos precisar entender como generalizar essa equação para três coordenadas espaciais:
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em uma dimensão, a energia cinética está relacionada à segunda derivada da função de onda em relação à posição. Em três dimensões, precisamos considerar a energia cinética em todas as três direções (
,
,
). Isso é feito usando o operador laplaciano, que em coordenadas retangulares é dado por:
Passo 3
Agora, substituímos o operador cinético unidimensional pela versão tridimensional usando o laplaciano. A energia potencial
em três dimensões depende de
,
,
e possivelmente do tempo
, então escrevemos
.
Passo 4
Montando a equação completa, temos que a energia total (energia cinética mais potencial) atua na função de onda
, resultando na derivada temporal da função de onda. Assim, a equação de Schrödinger em três dimensões fica:
Resposta
A equação de Schrödinger para uma partícula de massa
se movendo em três dimensões é: