Um pêndulo físico consiste de um disco sólido uniforme (de massa M e raio R) suportado num plano vertical por um eixo localizado a uma distância d do centro do disco. O disco é deslocado de um pequeno ângulo (em relação a sua posição de equilíbrio) e liberado. Ache o período de oscilação do pêndulo.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o problema está nos pedindo. Temos um pêndulo físico, que neste caso é um disco sólido uniforme com massa M e raio R. Esse disco está apoiado em um eixo que está a uma distância do centro do disco. O disco é deslocado de um pequeno ângulo e liberado, e queremos descobrir o período de oscilação desse pêndulo.
Para resolver isso, vamos precisar utilizar conceitos de Momento de Inércia e a fórmula do período de um pêndulo físico.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o Momento de Inércia ( Icm = 12 M R^2 ) do disco em relação ao eixo de rotação. O momento de inércia é uma medida de como a massa está distribuída em relação ao ponto de rotação e é crucial para determinar o período de oscilação.
Para um disco sólido uniforme, o momento de inércia em relação ao seu próprio centro ( ) é dado por:

Passo 3

Como o disco está apoiado a uma distância I = Icm + M d^2 do centro, precisamos aplicar o Teorema de Steiner (ou Teorema de Eixo Paralelo) para encontrar o momento de inércia em relação ao novo eixo de rotação:
I = 12 M R^2 + M d^2
Substituindo :

Passo 4

Agora, vamos utilizar a fórmula do período ( T = 2pi raizIM g h ) de um pêndulo físico, que relaciona o momento de inércia, a massa, a aceleração da gravidade ( ) e a distância entre o centro de massa e o ponto de suspensão ( ):
No nosso caso, a distância é igual a .

Passo 5

Substituindo os valores que já encontramos na fórmula do período:
T = 2pi raiz12 M R^2 + M d^2M g d
Observamos que a massa T = 2pi raiz12 R^2 + d^2g d aparece no numerador e no denominador, então podemos simplificar a expressão dividindo todos os termos por :

Resposta

O período de oscilação do pêndulo é:
T = 2pi raiz12 R^2 + d^2g d

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