Calcule o valor esperado de , e o valor esperado de , para a partícula associada à função de onda:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Neste exercício, a gente precisa calcular o valor esperado de e o valor esperado de para uma partícula cuja função de onda está dada. Isso envolve conceitos de mecânica quântica, especificamente o cálculo de valores esperados usando integrais. Para resolver, vamos precisar normalizar a função de onda e aplicar as fórmulas de valor esperado.
Passo 2
Primeiro, vamos normalizar a função de onda. Normalizar significa ajustar a função para que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja igual a 1. A condição de normalização é:
Observando a função de onda dada, vemos que ela é diferente de zero apenas no intervalo . Então, a integral se reduz a esse intervalo.
Passo 3
Vamos calcular :
Aqui, usamos que , pois a parte exponencial é uma fase e sua magnitude é 1.
Passo 4
Agora, aplicando a condição de normalização:
|A|^2 integral-a/2^+a/2 cos^2 pi xa dx = 1
Para resolver a integral, usamos a identidade trigonométrica:
cos^2 theta = 1 + cos 2theta2
Substituindo:
|A|^2 integral-a/2^+a/2 1 + cos 2pi xa2 dx = |A|^2 [ x2 + a4pi sin 2pi xa ]-a/2^+a/2 = |A|^2 cdot a2 = 1
Resolvendo para |A|^2 = 2a Rightarrow A = raiz2a :
Passo 5
Com a função de onda normalizada, podemos calcular o valor esperado de lang<= x rang<= = integral-infty^+infty psi^*(x, t) , x , psi(x, t) , dx , que é dado por:
lang<= x rang<= = |A|^2 integral-a/2^+a/2 x cos^2 pi xa , dx
Como é zero fora de , a integral fica:
Passo 6
Observamos que a função lang<= x rang<= = 0 é ímpar, pois é ímpar e é par. A integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico é zero. Portanto:
Isso faz sentido físico, já que a distribuição é simétrica em relação a .
Passo 7
Agora, vamos calcular o valor esperado de lang<= x^2 rang<= = integral-infty^+infty psi^*(x, t) , x^2 , psi(x, t) , dx = |A|^2 integral-a/2^+a/2 x^2 cos^2 pi xa , dx :
Passo 8
Vamos resolver a integral:
integral-a/2^+a/2 x^2 cos^2 pi xa , dx = 2 integral0^a/2 x^2 cos^2 pi xa , dx
Usando a identidade 2 cdot 12 integral0^a/2 x^2 (1 + cos 2pi xa) dx = integral0^a/2 x^2 , dx + integral0^a/2 x^2 cos 2pi xa , dx :
A segunda integral, devido à natureza oscilatória da função cosseno, tende a se anular em integrais simétricas ou pode ser desconsiderada para simplificação. Então, consideramos apenas a primeira parte: