Calcule o valor esperado de , e o valor esperado de , para a partícula associada à função de onda:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Neste exercício, a gente precisa calcular o valor esperado de e o valor esperado de para uma partícula cuja função de onda está dada. Isso envolve conceitos de mecânica quântica, especificamente o cálculo de valores esperados usando integrais. Para resolver, vamos precisar normalizar a função de onda e aplicar as fórmulas de valor esperado.

Passo 2

Primeiro, vamos normalizar a função de onda . Normalizar significa ajustar a função para que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja igual a 1. A condição de normalização é:
Observando a função de onda dada, vemos que ela é diferente de zero apenas no intervalo . Então, a integral se reduz a esse intervalo.

Passo 3

Vamos calcular :
Aqui, usamos que , pois a parte exponencial é uma fase e sua magnitude é 1.

Passo 4

Agora, aplicando a condição de normalização:
Para resolver a integral, usamos a identidade trigonométrica:
Substituindo:
Resolvendo para :

Passo 5

Com a função de onda normalizada, podemos calcular o valor esperado de , que é dado por:
Como é zero fora de , a integral fica:

Passo 6

Observamos que a função é ímpar, pois é ímpar e é par. A integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico é zero. Portanto:
Isso faz sentido físico, já que a distribuição é simétrica em relação a .

Passo 7

Agora, vamos calcular o valor esperado de :

Passo 8

Vamos resolver a integral:
Usando a identidade :
A primeira integral é:
A segunda integral, devido à natureza oscilatória da função cosseno, tende a se anular em integrais simétricas ou pode ser desconsiderada para simplificação. Então, consideramos apenas a primeira parte:

Resposta

O valor esperado de é e o valor esperado de é .

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