Explique por que a equação diferencial
nāo possui soluçāo real em
. Há outras regiø̃es do plano xy em que a equação não possui solução?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial dada por:
A tarefa é explicar por que essa equação não tem soluções reais quando
e
. Além disso, precisamos verificar se existem outras regiões no plano
onde a equação também não possui soluções. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais e análise de funções.
Passo 2
Vamos começar isolando
. Tirando a raiz quadrada de ambos os lados da equação, obtemos:
Aqui, o símbolo
indica que existem duas possíveis derivadas: uma positiva e outra negativa.
Passo 3
Para que
seja real, o conteúdo da raiz quadrada deve ser maior ou igual a zero:
Isso significa que o numerador e o denominador devem ter o mesmo sinal.
Passo 4
Vamos analisar os sinais de
e
:
-
quando -
quando
Portanto:
- Se
e , a fração será positiva. - Se
e , o numerador e o denominador serão negativos, então a fração também será positiva.
Passo 5
Agora, vamos considerar os casos onde
e
:
- Se
, então . - Se
, então .
Isso resulta em uma fração negativa:
Como a fração é negativa, a raiz quadrada não será real, o que significa que não existem soluções reais para
nesse caso.
Passo 6
Agora, vamos verificar se existem outras regiões onde a equação não possui soluções. Considerando a análise dos sinais:
- Quando
e , não há soluções reais. - Quando
e , a fração também é negativa:
Portanto, nessas regiões, a raiz quadrada também não será real, indicando a ausência de soluções reais.
Resposta
A equação diferencial não possui soluções reais quando
e
, além de também não ter soluções reais quando
e
. Nessas regiões, a fração dentro da raiz quadrada é negativa, tornando a derivada
inexistente em números reais.
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