Explique por que a equação diferencial
(dy/dx)^{2} = (4 - y^{2})/(4 - x^{2})
nāo possui soluçāo real em |x|<2, |y|>2. Há outras regiø̃es do plano xy em que a equação não possui solução?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial dada por:
A tarefa é explicar por que essa equação não tem soluções reais quando e . Além disso, precisamos verificar se existem outras regiões no plano onde a equação também não possui soluções. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais e análise de funções.

Passo 2

Vamos começar isolando . Tirando a raiz quadrada de ambos os lados da equação, obtemos:
Aqui, o símbolo indica que existem duas possíveis derivadas: uma positiva e outra negativa.

Passo 3

Para que seja real, o conteúdo da raiz quadrada deve ser maior ou igual a zero:
Isso significa que o numerador e o denominador devem ter o mesmo sinal.

Passo 4

Vamos analisar os sinais de e :
  • quando
  • quando
Portanto:
  • Se e , a fração será positiva.
  • Se e , o numerador e o denominador serão negativos, então a fração também será positiva.

Passo 5

Agora, vamos considerar os casos onde e :
  • Se , então .
  • Se , então .
Isso resulta em uma fração negativa:
Como a fração é negativa, a raiz quadrada não será real, o que significa que não existem soluções reais para nesse caso.

Passo 6

Agora, vamos verificar se existem outras regiões onde a equação não possui soluções. Considerando a análise dos sinais:
  • Quando e , não há soluções reais.
  • Quando e , a fração também é negativa:
Portanto, nessas regiões, a raiz quadrada também não será real, indicando a ausência de soluções reais.

Resposta

A equação diferencial não possui soluções reais quando e , além de também não ter soluções reais quando e . Nessas regiões, a fração dentro da raiz quadrada é negativa, tornando a derivada inexistente em números reais.

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