Passo 1
Beleza! Vamos resolver a equação diferencial
. Isso faz parte do estudo de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO), especificamente de equações lineares de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar entender como integrar derivações múltiplas. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a visualização:
Isso significa que a segunda derivada de
é igual à primeira derivada de
.
Passo 3
Vamos simplificar a equação. Podemos mover tudo para um lado:
Agora, temos uma equação homogênea. Isso facilita encontrar a solução geral.
Passo 4
Vamos resolver essa equação característica. Assumimos que a solução tem a forma
, onde
é uma constante. Calculando as derivadas:
Substituindo na equação original:
Como
nunca é zero, temos:
Passo 5
Resolvendo a equação característica:
Então, temos duas soluções lineares independentes:
Passo 6
A solução geral da equação diferencial é uma combinação linear das soluções encontradas:
Onde
e
são constantes que serão determinadas por condições iniciais, se forem fornecidas.
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
Exercícios relacionados
Nos exercícios 22 a 27, utilize o método das cascas cilíndricas para determinar o volume do solido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo especificado, da região delimitada pelos gráficos das equações dadas.
e
; ao redor do eixo
.
Explique por que a equação diferencial
nāo possui soluçāo real em
. Há outras regiø̃es do plano xy em que a equação não possui solução?