Explique por que
para todo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para explicar por que a derivada de uma função,
, é maior que 1 para todo
. Estamos trabalhando com Cálculo Diferencial, especificamente com derivadas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa a derivada ser maior que 1 e como analisar essa condição para
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada. A derivada de uma função,
, representa a taxa de variação dessa função em relação a
. Em outras palavras, diz como a função está crescendo ou diminuindo em cada ponto.
Passo 3
Quando dizemos que
para todo
, estamos afirmando que, para qualquer valor de
maior que zero, a função está crescendo mais rápido que a linha reta com inclinação 1. Isso significa que, à medida que
aumenta,
aumenta de forma mais acentuada.
Passo 4
Para entender por que
, podemos analisar o comportamento da função. Se a derivada é sempre maior que 1, isso indica que a função está sempre acelerando seu crescimento. Não importa o ponto
em que estamos, a inclinação da tangente à curva de
é sempre maior que 1.
Passo 5
Vamos considerar um exemplo simples. Suponha que
. A derivada dessa função é
. Como 2 é maior que 1, isso confirma que
para todo
. Generalizando, qualquer função cuja derivada seja uma constante maior que 1 atenderá a essa condição.
Passo 6
Além disso, se a derivada não for constante, mas sempre maior que 1 para
, isso ainda garante que a função está aumentando mais rápido que a linha reta com inclinação 1. Isso pode ocorrer em funções exponenciais ou polinomiais de grau maior que 1, por exemplo.
Resposta
Portanto,
para todo
porque a taxa de variação da função é constantemente maior que 1, indicando um crescimento acelerado da função em todos os pontos onde
é maior que zero.