Explique por que f'(x) > 1 para todo x > 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para explicar por que a derivada de uma função, , é maior que 1 para todo . Estamos trabalhando com Cálculo Diferencial, especificamente com derivadas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa a derivada ser maior que 1 e como analisar essa condição para .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada. A derivada de uma função, , representa a taxa de variação dessa função em relação a . Em outras palavras, diz como a função está crescendo ou diminuindo em cada ponto.

Passo 3

Quando dizemos que para todo , estamos afirmando que, para qualquer valor de maior que zero, a função está crescendo mais rápido que a linha reta com inclinação 1. Isso significa que, à medida que aumenta, aumenta de forma mais acentuada.

Passo 4

Para entender por que , podemos analisar o comportamento da função. Se a derivada é sempre maior que 1, isso indica que a função está sempre acelerando seu crescimento. Não importa o ponto em que estamos, a inclinação da tangente à curva de é sempre maior que 1.

Passo 5

Vamos considerar um exemplo simples. Suponha que . A derivada dessa função é . Como 2 é maior que 1, isso confirma que para todo . Generalizando, qualquer função cuja derivada seja uma constante maior que 1 atenderá a essa condição.

Passo 6

Além disso, se a derivada não for constante, mas sempre maior que 1 para , isso ainda garante que a função está aumentando mais rápido que a linha reta com inclinação 1. Isso pode ocorrer em funções exponenciais ou polinomiais de grau maior que 1, por exemplo.

Resposta

Portanto, para todo porque a taxa de variação da função é constantemente maior que 1, indicando um crescimento acelerado da função em todos os pontos onde é maior que zero.

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