Agora vamos usar outro método para calcular a derivada de
. Primeiro, escreva
como a soma de dois logaritmos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a derivada de uma função
usando um método diferente. Para isso, primeiro precisamos escrever
como a soma de dois logaritmos. Isso envolve usar as propriedades dos logaritmos e as regras de derivação.
Passo 2
Vamos supor que a função
seja um logaritmo de um produto, por exemplo:
Aqui,
e
são duas funções qualquer.
Passo 3
Usando a propriedade dos logaritmos que diz que o logaritmo de um produto é a soma dos logaritmos, podemos reescrever
assim:
Agora,
está escrita como a soma de dois logaritmos.
Passo 4
Para encontrar a derivada de
, vamos derivar cada termo separadamente. A derivada de
em relação a
é
, onde
é a derivada de
.
Passo 5
Aplicando a regra da derivada aos dois termos:
Aqui,
e
são as derivadas das funções
e
, respectivamente.
Resposta
A derivada de
é:
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Escreva o limite na forma de uma indeterminação do tipo
Usando o resultado item (a), calcule
e
. Com base nisso, explique se as funções
e
são crescentes ou decrescentes em
Usando a expressão obtida no item anterior, calcule a derivada de
e verifique se é igual à resposta do item
Explique por que
para todo
.