Explique hipótese do contínuo.
Passo 1
Então, você pediu para eu explicar a Hipótese do Contínuo. Essa é uma ideia dentro da teoria dos conjuntos, que estuda diferentes tamanhos de conjuntos infinitos. Vamos precisar entender um pouquinho sobre cardinalidade e números cardinais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre cardinalidade. É uma maneira de medir o “tamanho” de conjuntos, mesmo infinitos. Por exemplo, o conjunto dos números naturais
e o conjunto dos números reais
são ambos infinitos, mas
é “maior” que
.
Passo 3
Agora, a Hipótese do Contínuo propõe que não existe nenhum conjunto cuja cardinalidade seja maior que a dos números naturais
(aleph-zero) e menor que a dos números reais
. Em outras palavras, não há um tamanho intermediário entre
e
.
Passo 4
Essa hipótese foi formulada por Georg Cantor e é famosa porque não pode ser provada nem refutada usando os axiomas padrão da teoria dos conjuntos (como os do Zermelo-Fraenkel). Isso significa que, dentro da matemática atual, a Hipótese do Contínuo é independente dos axiomas que usamos.
Passo 5
Então, a Hipótese do Contínuo está ligada à ideia de se existem ou não conjuntos de tamanho intermediário entre os infinitos contáveis e os incontáveis. É um dos problemas mais intrigantes e desafiadores na matemática moderna.
Resposta
A Hipótese do Contínuo afirma que não existe nenhum conjunto cuja cardinalidade esteja entre a dos números naturais
e a dos números reais
. Ela sugere que não há tamanhos intermediários de infinito além desses já conhecidos, e essa hipótese é independente dos axiomas padrão da teoria dos conjuntos.