Calcule a integral dupla
© integral duplaR(x+y) e^x^2-y^2 d A, usando a mudança de variáveis u=x+y e v=x-y, em que R é o retângulo limitado pelas retas x-y=0, x-y=2, x+y= 0 e x+y=3.

Passo 1

Resumo do enunciado:
Vamos calcular a integral dupla
integral duplaR(x+y) e^x^2-y^2 ,dA
onde a região R é um retângulo limitado pelas retas x-y=0, x-y=2, x+y=0 e x+y=3. Para resolver isso, vamos usar a mudança de variáveis u = x + y e v = x - y.
Conteúdo da matéria:
Integrais duplas e mudança de variáveis.
O que vamos precisar:
  • Entender como fazer a mudança de variáveis.
  • Calcular o jacobiano da transformação.
  • Determinar os novos limites de integração.

Passo 2

Mudança de Variáveis:
Vamos definir
u = x + y v = x - y
Agora, precisamos expressar x e y em termos de u e v.
Resolvendo para x e y:
Somando as duas equações:
u + v = 2x implies x = u + v2
Subtraindo as duas equações:
u - v = 2y implies y = u - v2

Passo 3

Calculando o Jacobiano:
O jacobiano J é dado por
J = partial(x, y)partial(u, v) = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v
Calculando as derivadas parciais:
partial xpartial u = 12, partial xpartial v = 12 partial ypartial u = 12, partial ypartial v = -12
Então,
J = 12 & 12 12 & -12 = (12)(-12) - (12)(12) = -14 - 14 = -12
Como trabalhamos com o valor absoluto do jacobiano, temos |J| = 12.

Passo 4

Determinação dos Novos Limites de Integração:
As retas que delimitam R são:
x - y = v = 0 implies v = 0 x - y = v = 2 implies v = 2 x + y = u = 0 implies u = 0 x + y = u = 3 implies u = 3
Portanto, os novos limites são:
0 <= u <= 3 0 <= v <= 2

Passo 5

Substituindo na Integral Original:
A integral transforma-se em:
integral duplaR (x + y) e^x^2 - y^2 ,dA = integral duplaR' u e^uv cdot 12 ,du,dv
onde R' é o retângulo definido pelos novos limites de u e v.

Passo 6

Calculando a Integral:
Vamos calcular:
12 integral0^3 integral0^2 u e^u v ,dv,du
Primeiro, integramos em relação a v:
integral0^2 u e^u v dv = u cdot ( e^u vu ) |0^2 = e^2u - 1
Então, a integral torna-se:
12 integral0^3 (e^2u - 1) ,du = 12 ( e^6 - 12 - 3 ) = e^6 - 14 - 32

Resposta

O valor da integral dupla é e^6 - 14 - 32.

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