Calcule a integral dupla
© , usando a mudança de variáveis e , em que é o retângulo limitado pelas retas 0 e .

Passo 1

Resumo do enunciado:
Vamos calcular a integral dupla

onde a região é um retângulo limitado pelas retas , , e . Para resolver isso, vamos usar a mudança de variáveis e .
Conteúdo da matéria:
Integrais duplas e mudança de variáveis.
O que vamos precisar:
  • Entender como fazer a mudança de variáveis.
  • Calcular o jacobiano da transformação.
  • Determinar os novos limites de integração.

Passo 2

Mudança de Variáveis:
Vamos definir
Agora, precisamos expressar e em termos de e .
Resolvendo para e :
Somando as duas equações:
Subtraindo as duas equações:

Passo 3

Calculando o Jacobiano:
O jacobiano é dado por
Calculando as derivadas parciais:
Então,
Como trabalhamos com o valor absoluto do jacobiano, temos .

Passo 4

Determinação dos Novos Limites de Integração:
As retas que delimitam são:
Portanto, os novos limites são:

Passo 5

Substituindo na Integral Original:
A integral transforma-se em:
onde é o retângulo definido pelos novos limites de e .

Passo 6

Calculando a Integral:
Vamos calcular:
Primeiro, integramos em relação a :
Então, a integral torna-se:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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(a) , trocando a ordem de integração.
Calcule e , onde e .
Se a,b e c são vetores constantes em é o vetor posição e é o sólido dado pelas inequações , em que e são números reais positivos fixados, mostre que
Sugestão: Use a mudança de variáveis e .
Explique porque a função é diferenciável no ponto dado. Faça então a linearização da função no ponto. y no ponto .