Calcule a integral dupla
©
, usando a mudança de variáveis
e
, em que
é o retângulo limitado pelas retas
0 e
.
©
Passo 1
Resumo do enunciado:
Vamos calcular a integral dupla
Vamos calcular a integral dupla
onde a região
Conteúdo da matéria:
Integrais duplas e mudança de variáveis.
Integrais duplas e mudança de variáveis.
O que vamos precisar:
- Entender como fazer a mudança de variáveis.
- Calcular o jacobiano da transformação.
- Determinar os novos limites de integração.
Passo 2
Mudança de Variáveis:
Vamos definir
Vamos definir
Agora, precisamos expressar
e
em termos de
e
.
Resolvendo para
e
:
Somando as duas equações:
Somando as duas equações:
Subtraindo as duas equações:
Passo 3
Calculando o Jacobiano:
O jacobiano é dado por
O jacobiano
Calculando as derivadas parciais:
Então,
Como trabalhamos com o valor absoluto do jacobiano, temos
.
Passo 4
Determinação dos Novos Limites de Integração:
As retas que delimitam são:
As retas que delimitam
Portanto, os novos limites são:
Passo 5
Substituindo na Integral Original:
A integral transforma-se em:
A integral transforma-se em:
onde
é o retângulo definido pelos novos limites de
e
.
Passo 6
Calculando a Integral:
Vamos calcular:
Vamos calcular:
Primeiro, integramos em relação a
:
Então, a integral torna-se:
Resposta
O valor da integral dupla é
.
Exercícios relacionados
Calcule a integral dupla
(a) , trocando a ordem de integração.
(a)
Calcule
e
, onde
e
.
Se a,b e c são vetores constantes em
é o vetor posição
e
é o sólido dado pelas inequações
, em que
e
são números reais positivos fixados, mostre que
Sugestão: Use a mudança de variáveis
e
.
Explique porque a função é diferenciável no ponto dado. Faça então a linearização
da função no ponto.
y no ponto
.