Explique o significado de cada um dos limites a seguir e ilustre com um esboço.
(e)
(e)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. O enunciado nos pede para explicar o significado do limite
e ilustrá-lo com um esboço. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente sobre limites de funções no infinito e suas representações gráficas.
Passo 2
Vamos começar definindo o que significa o limite de uma função quando
tende ao infinito. Quando dizemos que
, estamos afirmando que, à medida que
aumenta sem limites, os valores da função
se aproximam cada vez mais do número
.
Passo 3
Esse comportamento indica que a função
tem uma assíntota horizontal em
. Uma assíntota horizontal é uma linha reta que a função se aproxima mas nunca toca ou cruza quando
tende para
ou
.
Passo 4
Para ilustrar isso, podemos desenhar o gráfico de uma função que, à medida que
cresce, suas
se aproximam de
. No esboço, a curva da função se aproxima cada vez mais da linha horizontal
sem nunca tocá-la.
Resposta
Portanto, o limite
significa que a função
se aproxima de um valor constante
conforme
cresce sem limites. Graficamente, isso é representado por uma assíntota horizontal na linha
.
Exercícios relacionados
(a) O que significa
ser diferenciável em
?
Em cada um dos itens abaixo responda se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
A equação da reta tangente à curva
no ponto
é
.
Comentário: A reta tangente ao gráfico no ponto tem coeficiente angular
, caso exista, e terá equação
. Aqui, temos que
e
. Então
e
, o que implica que a reta tangente ao gráfico no ponto
é
. Logo a afirmação é falsa.
Um objeto cuja posição em relação ao tempo é
tem velocidade 3 em
.
Comentário: A velocidade em é igual à variação instantânea do deslocamento em
. Logo, temos que
e
A função
é diferenciável em
.
Comentário: Aqui estamos interessados em saber se existe . Mas
. Portanto
.
Se
existe, então
.
Comentário: Sim, pois se existe, então
é contínua em
.
Comentário: A reta tangente ao gráfico no ponto
Comentário: A velocidade em
Comentário: Aqui estamos interessados em saber se existe
Comentário: Sim, pois se
Use a definição de derivada de uma função real para calcular
e determine a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto
, em cada um dos casos abaixo:
(a)
(b)
© .
Comentário: Aqui farei somente o ítem (a). Para , temos que
e
(a)
(b)
©
Comentário: Aqui farei somente o ítem (a). Para
A reta tangente procurada é
, e basta substituir os valores acima.