Use a definição de derivada de uma função real para calcular f^prime(x0) e determine a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto (x0, f(x0)), em cada um dos casos abaixo:
(a) f(x)=raizx^2+4, x0=raiz5
(b) f(x)=x+4x+2, x0=0
© f(x)=1x, x0=12.
Comentário: Aqui farei somente o ítem (a). Para f(x)=raizx^2+4, temos que f(raiz5)=3 e
f^prime(raiz5)=lim h 0 raiz(raiz5+h)^2+4-3h=lim h 0 (raiz(raiz5+h)^2+4-3)(raiz(raiz5+h)^2+4+3)h(raiz(raiz5+h)^2+4+3)= =lim h 0 (raiz5+h)^2-5h(raiz(raiz5+h)^2+4+3)=lim h 0 2 raiz5 h+h^2h(raiz(raiz5+h)^2+4+3)=lim h 0 2 raiz5+hraiz(raiz5+h)^2+4+3=raiz53
A reta tangente procurada é r: y=f^prime(raiz5)(x-raiz5)+f(raiz5), e basta substituir os valores acima.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a derivada da função no ponto usando a definição de derivada. Depois, precisamos achar a equação da reta tangente no ponto . Para isso, vamos precisar entender o que é derivada e como usamos a definição de limite para encontrá-la.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de f(raiz5) = raiz(raiz5)^2 + 4 = raiz5 + 4 = raiz9 = 3 . Substituindo por na função:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada f^prime(x0) = limh 0 f(x0 + h) - f(x0)h usando a definição de derivada:
f^prime(raiz5) = limh 0 raiz(raiz5 + h)^2 + 4 - 3h
No nosso caso, , então:

Passo 4

Para resolver esse limite, vamos racionalizar o numerador. Multiplicamos e dividimos pela expressão conjugada:
raiz(raiz5 + h)^2 + 4 - 3h times raiz(raiz5 + h)^2 + 4 + 3raiz(raiz5 + h)^2 + 4 + 3
Isso resulta em:
(raiz5 + h)^2 + 4 - 9h ( raiz(raiz5 + h)^2 + 4 + 3 ) = (raiz5 + h)^2 - 5h ( raiz(raiz5 + h)^2 + 4 + 3 )

Passo 5

Expandindo (raiz5 + h)^2 = 5 + 2raiz5h + h^2 :
5 + 2raiz5h + h^2 - 5h ( raiz(raiz5 + h)^2 + 4 + 3 ) = 2raiz5h + h^2h ( raiz(raiz5 + h)^2 + 4 + 3 )
Substituindo na expressão:

Passo 6

Podemos simplificar 2raiz5 + hraiz(raiz5 + h)^2 + 4 + 3 no numerador e denominador:
f^prime(raiz5) = 2raiz5raiz5 + 4 + 3 = 2raiz53 + 3 = 2raiz56 = raiz53
Agora, tomando o limite quando tende a zero:

Passo 7

Com a derivada encontrada, podemos escrever a equação da reta tangente. A fórmula da reta tangente é:
y = f^prime(x0)(x - x0) + f(x0)
Substituindo os valores:
y = raiz53(x - raiz5) + 3

Resposta

A derivada de y = raiz53(x - raiz5) + 3 no ponto é . A equação da reta tangente no ponto é:

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