Use a definição de derivada de uma função real para calcular
e determine a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto
, em cada um dos casos abaixo:
(a)
(b)
©
.
Comentário: Aqui farei somente o ítem (a). Para
, temos que
e
A reta tangente procurada é
, e basta substituir os valores acima.
(a)
(b)
©
Comentário: Aqui farei somente o ítem (a). Para
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a derivada da função
no ponto
usando a definição de derivada. Depois, precisamos achar a equação da reta tangente no ponto
. Para isso, vamos precisar entender o que é derivada e como usamos a definição de limite para encontrá-la.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor de
. Substituindo
por
na função:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada
usando a definição de derivada:
No nosso caso,
, então:
Passo 4
Para resolver esse limite, vamos racionalizar o numerador. Multiplicamos e dividimos pela expressão conjugada:
Isso resulta em:
Passo 5
Expandindo
:
Substituindo na expressão:
Passo 6
Podemos simplificar
no numerador e denominador:
Agora, tomando o limite quando
tende a zero:
Passo 7
Com a derivada encontrada, podemos escrever a equação da reta tangente. A fórmula da reta tangente é:
Substituindo os valores:
Resposta
A derivada de
no ponto
é
. A equação da reta tangente no ponto
é:
Exercícios relacionados
Em cada um dos itens abaixo responda se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
A equação da reta tangente à curva
no ponto
é
.
Comentário: A reta tangente ao gráfico no ponto tem coeficiente angular
, caso exista, e terá equação
. Aqui, temos que
e
. Então
e
, o que implica que a reta tangente ao gráfico no ponto
é
. Logo a afirmação é falsa.
Um objeto cuja posição em relação ao tempo é
tem velocidade 3 em
.
Comentário: A velocidade em é igual à variação instantânea do deslocamento em
. Logo, temos que
e
A função
é diferenciável em
.
Comentário: Aqui estamos interessados em saber se existe . Mas
. Portanto
.
Se
existe, então
.
Comentário: Sim, pois se existe, então
é contínua em
.
Comentário: A reta tangente ao gráfico no ponto
Comentário: A velocidade em
Comentário: Aqui estamos interessados em saber se existe
Comentário: Sim, pois se
Explique o significado de cada um dos limites a seguir e ilustre com um esboço.
(e)
(e)
Uma janela tem forma de um retângulo, tendo acima um triângulo equilátero. Sabendo que o perímetro da janela é igual a 4 metros, determine as dimensões do retângulo que proporciona a área máxima para a janela.
Inscreva numa esfera de raio
:
(a) um cilindro de área lateral máxima.
(b) um cone de volume máximo. um cone de área lateral máxima.
(a) um cilindro de área lateral máxima.
(b) um cone de volume máximo. um cone de área lateral máxima.