Use a definição de derivada de uma função real para calcular e determine a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto , em cada um dos casos abaixo:
(a)
(b)
© .
Comentário: Aqui farei somente o ítem (a). Para , temos que e
A reta tangente procurada é , e basta substituir os valores acima.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a derivada da função no ponto usando a definição de derivada. Depois, precisamos achar a equação da reta tangente no ponto . Para isso, vamos precisar entender o que é derivada e como usamos a definição de limite para encontrá-la.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de . Substituindo por na função:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada usando a definição de derivada:
No nosso caso, , então:

Passo 4

Para resolver esse limite, vamos racionalizar o numerador. Multiplicamos e dividimos pela expressão conjugada:
Isso resulta em:

Passo 5

Expandindo :
Substituindo na expressão:

Passo 6

Podemos simplificar no numerador e denominador:
Agora, tomando o limite quando tende a zero:

Passo 7

Com a derivada encontrada, podemos escrever a equação da reta tangente. A fórmula da reta tangente é:
Substituindo os valores:

Resposta

A derivada de no ponto é . A equação da reta tangente no ponto é:

Exercícios relacionados

Em cada um dos itens abaixo responda se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
A equação da reta tangente à curva no ponto é .
Comentário: A reta tangente ao gráfico no ponto tem coeficiente angular , caso exista, e terá equação . Aqui, temos que e . Então e , o que implica que a reta tangente ao gráfico no ponto é . Logo a afirmação é falsa.
Um objeto cuja posição em relação ao tempo é tem velocidade 3 em .
Comentário: A velocidade em é igual à variação instantânea do deslocamento em . Logo, temos que e
A função é diferenciável em .
Comentário: Aqui estamos interessados em saber se existe . Mas . Portanto .
Se existe, então .
Comentário: Sim, pois se existe, então é contínua em .
Explique o significado de cada um dos limites a seguir e ilustre com um esboço.
(e)
Uma janela tem forma de um retângulo, tendo acima um triângulo equilátero. Sabendo que o perímetro da janela é igual a 4 metros, determine as dimensões do retângulo que proporciona a área máxima para a janela.
Inscreva numa esfera de raio :
(a) um cilindro de área lateral máxima.
(b) um cone de volume máximo. um cone de área lateral máxima.