Use a definição de derivada de uma função real para calcular
e determine a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto
, em cada um dos casos abaixo:
(a)
(b)
©
.
Comentário: Aqui farei somente o ítem (a). Para
, temos que
e
A reta tangente procurada é
, e basta substituir os valores acima.
(a)
(b)
©
Comentário: Aqui farei somente o ítem (a). Para
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a derivada da função
no ponto
usando a definição de derivada. Depois, precisamos achar a equação da reta tangente no ponto
. Para isso, vamos precisar entender o que é derivada e como usamos a definição de limite para encontrá-la.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor de
. Substituindo
por
na função:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada
usando a definição de derivada:
No nosso caso,
, então:
Passo 4
Para resolver esse limite, vamos racionalizar o numerador. Multiplicamos e dividimos pela expressão conjugada:
Isso resulta em:
Passo 5
Expandindo
:
Substituindo na expressão:
Passo 6
Podemos simplificar
no numerador e denominador:
Agora, tomando o limite quando
tende a zero:
Passo 7
Com a derivada encontrada, podemos escrever a equação da reta tangente. A fórmula da reta tangente é:
Substituindo os valores:
Resposta
A derivada de
no ponto
é
. A equação da reta tangente no ponto
é: