(a) O que significa
ser diferenciável em
?
Passo 1
Beleza, o enunciado pergunta o que significa que uma função
é diferenciável em um ponto
. Vamos focar no conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente no conceito de diferenciabilidade. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma derivada e como ela se relaciona com a diferenciabilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função
ter uma derivada em um ponto
significa que existe o limite:
Esse limite, se existir, é a derivada de
em
, denotada por
. A derivada basicamente nos dá a inclinação da reta tangente à curva da função no ponto
.
Passo 3
Agora, a diferenciabilidade está diretamente ligada à existência dessa derivada. Ou seja, dizer que a função
é diferenciável em
significa que essa derivada
existe.
Além disso, para que
seja diferenciável em
, a função também precisa ser contínua nesse ponto. Isso porque a existência da derivada implica continuidade, mas o contrário nem sempre é verdadeiro.
Passo 4
Então, resumindo, para uma função ser diferenciável em
, ela não só deve ter uma derivada nesse ponto, mas também precisa ser contínua ali. Isso garante que a função tenha um comportamento “suave” naquele ponto, sem quebras ou cantos.
Resposta
Uma função
ser diferenciável em
significa que a derivada
existe, ou seja, o limite
existe. Além disso, isso implica que
é contínua em
.