(a) O que significa ser diferenciável em ?

Passo 1

Beleza, o enunciado pergunta o que significa que uma função é diferenciável em um ponto . Vamos focar no conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente no conceito de diferenciabilidade. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma derivada e como ela se relaciona com a diferenciabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função ter uma derivada em um ponto significa que existe o limite:
Esse limite, se existir, é a derivada de em , denotada por . A derivada basicamente nos dá a inclinação da reta tangente à curva da função no ponto .

Passo 3

Agora, a diferenciabilidade está diretamente ligada à existência dessa derivada. Ou seja, dizer que a função é diferenciável em significa que essa derivada existe.
Além disso, para que seja diferenciável em , a função também precisa ser contínua nesse ponto. Isso porque a existência da derivada implica continuidade, mas o contrário nem sempre é verdadeiro.

Passo 4

Então, resumindo, para uma função ser diferenciável em , ela não só deve ter uma derivada nesse ponto, mas também precisa ser contínua ali. Isso garante que a função tenha um comportamento “suave” naquele ponto, sem quebras ou cantos.

Resposta

Uma função ser diferenciável em significa que a derivada existe, ou seja, o limite
existe. Além disso, isso implica que é contínua em .

Exercícios relacionados

á
Defina a segunda derivada de . Se for a função de posição de uma partícula, como você pode interpretar a segunda derivada?
Explique o significado de cada um dos limites a seguir e ilustre com um esboço.
(e)
Em cada um dos itens abaixo responda se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
A equação da reta tangente à curva no ponto é .
Comentário: A reta tangente ao gráfico no ponto tem coeficiente angular , caso exista, e terá equação . Aqui, temos que e . Então e , o que implica que a reta tangente ao gráfico no ponto é . Logo a afirmação é falsa.
Um objeto cuja posição em relação ao tempo é tem velocidade 3 em .
Comentário: A velocidade em é igual à variação instantânea do deslocamento em . Logo, temos que e
A função é diferenciável em .
Comentário: Aqui estamos interessados em saber se existe . Mas . Portanto .
Se existe, então .
Comentário: Sim, pois se existe, então é contínua em .