(a) O que significa
ser diferenciável em
?
Passo 1
Beleza, o enunciado pergunta o que significa que uma função
é diferenciável em um ponto
. Vamos focar no conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente no conceito de diferenciabilidade. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma derivada e como ela se relaciona com a diferenciabilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função
ter uma derivada em um ponto
significa que existe o limite:
Esse limite, se existir, é a derivada de
em
, denotada por
. A derivada basicamente nos dá a inclinação da reta tangente à curva da função no ponto
.
Passo 3
Agora, a diferenciabilidade está diretamente ligada à existência dessa derivada. Ou seja, dizer que a função
é diferenciável em
significa que essa derivada
existe.
Além disso, para que
seja diferenciável em
, a função também precisa ser contínua nesse ponto. Isso porque a existência da derivada implica continuidade, mas o contrário nem sempre é verdadeiro.
Passo 4
Então, resumindo, para uma função ser diferenciável em
, ela não só deve ter uma derivada nesse ponto, mas também precisa ser contínua ali. Isso garante que a função tenha um comportamento “suave” naquele ponto, sem quebras ou cantos.
Resposta
Uma função
ser diferenciável em
significa que a derivada
existe, ou seja, o limite
existe. Além disso, isso implica que
é contínua em
.
Exercícios relacionados
Defina a segunda derivada de
. Se
for a função de posição de uma partícula, como você pode interpretar a segunda derivada?
Explique o significado de cada um dos limites a seguir e ilustre com um esboço.
(e)
(e)
Em cada um dos itens abaixo responda se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
A equação da reta tangente à curva
no ponto
é
.
Comentário: A reta tangente ao gráfico no ponto tem coeficiente angular
, caso exista, e terá equação
. Aqui, temos que
e
. Então
e
, o que implica que a reta tangente ao gráfico no ponto
é
. Logo a afirmação é falsa.
Um objeto cuja posição em relação ao tempo é
tem velocidade 3 em
.
Comentário: A velocidade em é igual à variação instantânea do deslocamento em
. Logo, temos que
e
A função
é diferenciável em
.
Comentário: Aqui estamos interessados em saber se existe . Mas
. Portanto
.
Se
existe, então
.
Comentário: Sim, pois se existe, então
é contínua em
.
Comentário: A reta tangente ao gráfico no ponto
Comentário: A velocidade em
Comentário: Aqui estamos interessados em saber se existe
Comentário: Sim, pois se