Em cada um dos itens abaixo responda se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
A equação da reta tangente à curva no ponto é .
Comentário: A reta tangente ao gráfico no ponto tem coeficiente angular , caso exista, e terá equação . Aqui, temos que e . Então e , o que implica que a reta tangente ao gráfico no ponto é . Logo a afirmação é falsa.
Um objeto cuja posição em relação ao tempo é tem velocidade 3 em .
Comentário: A velocidade em é igual à variação instantânea do deslocamento em . Logo, temos que e
A função é diferenciável em .
Comentário: Aqui estamos interessados em saber se existe . Mas . Portanto .
Se existe, então .
Comentário: Sim, pois se existe, então é contínua em .

Passo 1

Vamos analisar a primeira afirmação: "A equação da reta tangente à curva no ponto é ". Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente com a derivada para encontrar a reta tangente a uma curva em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função , que nos dará o coeficiente angular da reta tangente. A derivada de em relação a é:

Passo 3

Agora, avaliamos a derivada no ponto para obter o coeficiente angular da reta tangente:
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 4

Sabemos que a reta tangente que passa pelo ponto tem a equação:
Substituindo os valores que encontramos:
Rearranjando para a forma geral:

Passo 5

Agora, vamos para a segunda afirmaç��o: "Um objeto cuja posição em relação ao tempo é tem velocidade 3 em ". Aqui, estamos trabalhando com funções de posição e velocidade, que são abordadas em cálculo diferencial.

Passo 6

A velocidade de um objeto é a derivada da sua posição em relação ao tempo. Então, derivamos para encontrar a velocidade :

Passo 7

Agora, avaliamos em :

Passo 8

Vamos analisar a terceira afirmação: "A função é diferenciável em ". Isso envolve verificar a diferenciabilidade de uma função no ponto , o que requer o cálculo do limite da derivada nesse ponto.

Passo 9

Primeiro, reescrevemos a função de forma mais clara:
Agora, calculamos o limite da diferença:

Passo 10

Como o limite existe e é igual a 0, a função é diferenciável em , e a derivada nesse ponto é 0.

Passo 11

Por fim, vamos para a quarta afirmação: "Se existe, então ". Essa afirmação está relacionada à continuidade de funções e ao teorema que liga derivabilidade e continuidade.

Passo 12

Sabemos que se uma função é diferenciável em um ponto , então ela também é contínua nesse ponto. Ou seja, a existência da derivada implica que:

Passo 13

Isso acontece porque a derivabilidade exige que o limite da razão incremental exista e seja finito, o que por sua vez garante que o próprio limite da função no ponto coincida com o valor da função nesse ponto.

Resposta

De fato, se existe, então . Portanto, a afirmação é verdadeira.

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(e)
(a) O que significa ser diferenciável em ?
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(a)
(b)
© .
Comentário: Aqui farei somente o ítem (a). Para , temos que e
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