Em cada um dos itens abaixo responda se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
(F) A equação da reta tangente à curva y=1-x^2 no ponto P=(1,0) é x+y-2=0.
Comentário: A reta tangente ao gráfico no ponto (x0, f(x0)) tem coeficiente angular f^prime(x0), caso exista, e terá equação y=f^prime(x0)(x-x0)+f(x0). Aqui, temos que y=f(x)=1-x^2 e x0=1. Então f^prime(1)=-2 e f(1)=0, o que implica que a reta tangente ao gráfico no ponto (1,0) é r: y=-2(x-1)+0=-2 x-2. Logo a afirmação é falsa.
(V) Um objeto cuja posição em relação ao tempo é p(t)=t^3 tem velocidade 3 em t=1.
Comentário: A velocidade em t=1 é igual à variação instantânea do deslocamento em t=1. Logo, temos que v(t)=p^prime(t)=3 t^2 e v(1)=3
(V) A função f(x)=x|x| é diferenciável em x=0.
Comentário: Aqui estamos interessados em saber se existe lim x 0 x|x|-0x-0. Mas lim x 0 x|x|-0x-0= lim x 0 x|x|x=lim x 0|x|=0. Portanto f^prime(0)=0.
(V) Se f^prime(c) existe, então lim x c f(x)=f(c).
Comentário: Sim, pois se f^prime(c) existe, então f é contínua em x=c.

Passo 1

Vamos analisar a primeira afirmação: "A equação da reta tangente à curva no ponto é ". Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente com a derivada para encontrar a reta tangente a uma curva em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função f'(x) = -2x , que nos dará o coeficiente angular da reta tangente. A derivada de em relação a é:

Passo 3

Agora, avaliamos a derivada no ponto f'(1) = -2 times 1 = -2 para obter o coeficiente angular da reta tangente:
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 4

Sabemos que a reta tangente que passa pelo ponto y = f'(x0)(x - x0) + f(x0) tem a equação:
y = -2(x - 1) + 0 = -2x + 2
Substituindo os valores que encontramos:
2x + y - 2 = 0
Rearranjando para a forma geral:

Passo 5

Agora, vamos para a segunda afirmaç��o: "Um objeto cuja posição em relação ao tempo é tem velocidade 3 em ". Aqui, estamos trabalhando com funções de posição e velocidade, que são abordadas em cálculo diferencial.

Passo 6

A velocidade de um objeto é a derivada da sua posição em relação ao tempo. Então, derivamos v(t) = p'(t) = 3t^2 para encontrar a velocidade :

Passo 7

Agora, avaliamos v(1) = 3 times (1)^2 = 3 em :

Passo 8

Vamos analisar a terceira afirmação: "A função é diferenciável em ". Isso envolve verificar a diferenciabilidade de uma função no ponto , o que requer o cálculo do limite da derivada nesse ponto.

Passo 9

Primeiro, reescrevemos a função f(x) = x|x| = x^2, & se x >= 0 - x^2, & se x < 0 de forma mais clara:
limx to 0 f(x) - f(0)x - 0 = limx to 0 x|x|x = limx to 0 |x| = 0
Agora, calculamos o limite da diferença:

Passo 10

Como o limite existe e é igual a 0, a função é diferenciável em , e a derivada nesse ponto é 0.

Passo 11

Por fim, vamos para a quarta afirmação: "Se existe, então ". Essa afirmação está relacionada à continuidade de funções e ao teorema que liga derivabilidade e continuidade.

Passo 12

Sabemos que se uma função é diferenciável em um ponto limx to c f(x) = f(c) , então ela também é contínua nesse ponto. Ou seja, a existência da derivada implica que:

Passo 13

Isso acontece porque a derivabilidade exige que o limite da razão incremental exista e seja finito, o que por sua vez garante que o próprio limite da função no ponto coincida com o valor da função nesse ponto.

Resposta

De fato, se existe, então . Portanto, a afirmação é verdadeira.

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