Em cada um dos itens abaixo responda se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
A equação da reta tangente à curva
no ponto
é
.
Comentário: A reta tangente ao gráfico no ponto
tem coeficiente angular
, caso exista, e terá equação
. Aqui, temos que
e
. Então
e
, o que implica que a reta tangente ao gráfico no ponto
é
. Logo a afirmação é falsa.
Um objeto cuja posição em relação ao tempo é
tem velocidade 3 em
.
Comentário: A velocidade em
é igual à variação instantânea do deslocamento em
. Logo, temos que
e
A função
é diferenciável em
.
Comentário: Aqui estamos interessados em saber se existe
. Mas
. Portanto
.
Se
existe, então
.
Comentário: Sim, pois se
existe, então
é contínua em
.
Comentário: A reta tangente ao gráfico no ponto
Comentário: A velocidade em
Comentário: Aqui estamos interessados em saber se existe
Comentário: Sim, pois se
Passo 1
Vamos analisar a primeira afirmação: "A equação da reta tangente à curva
no ponto
é
". Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente com a derivada para encontrar a reta tangente a uma curva em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função
, que nos dará o coeficiente angular da reta tangente. A derivada de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, avaliamos a derivada no ponto
para obter o coeficiente angular da reta tangente:
Então, a inclinação da reta tangente é
.
Passo 4
Sabemos que a reta tangente que passa pelo ponto
tem a equação:
Substituindo os valores que encontramos:
Rearranjando para a forma geral:
Passo 5
Agora, vamos para a segunda afirmaç��o: "Um objeto cuja posição em relação ao tempo é
tem velocidade 3 em
". Aqui, estamos trabalhando com funções de posição e velocidade, que são abordadas em cálculo diferencial.
Passo 6
A velocidade de um objeto é a derivada da sua posição em relação ao tempo. Então, derivamos
para encontrar a velocidade
:
Passo 7
Agora, avaliamos
em
:
Passo 8
Vamos analisar a terceira afirmação: "A função
é diferenciável em
". Isso envolve verificar a diferenciabilidade de uma função no ponto
, o que requer o cálculo do limite da derivada nesse ponto.
Passo 9
Primeiro, reescrevemos a função
de forma mais clara:
Agora, calculamos o limite da diferença:
Passo 10
Como o limite existe e é igual a 0, a função
é diferenciável em
, e a derivada nesse ponto é 0.
Passo 11
Por fim, vamos para a quarta afirmação: "Se
existe, então
". Essa afirmação está relacionada à continuidade de funções e ao teorema que liga derivabilidade e continuidade.
Passo 12
Sabemos que se uma função é diferenciável em um ponto
, então ela também é contínua nesse ponto. Ou seja, a existência da derivada
implica que:
Passo 13
Isso acontece porque a derivabilidade exige que o limite da razão incremental exista e seja finito, o que por sua vez garante que o próprio limite da função no ponto
coincida com o valor da função nesse ponto.
Resposta
De fato, se
existe, então
. Portanto, a afirmação é verdadeira.
Exercícios relacionados
Explique o significado de cada um dos limites a seguir e ilustre com um esboço.
(e)
(e)
(a) O que significa
ser diferenciável em
?
Use a definição de derivada de uma função real para calcular
e determine a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto
, em cada um dos casos abaixo:
(a)
(b)
© .
Comentário: Aqui farei somente o ítem (a). Para , temos que
e
(a)
(b)
©
Comentário: Aqui farei somente o ítem (a). Para
A reta tangente procurada é
, e basta substituir os valores acima.
Uma janela tem forma de um retângulo, tendo acima um triângulo equilátero. Sabendo que o perímetro da janela é igual a 4 metros, determine as dimensões do retângulo que proporciona a área máxima para a janela.