Encontre a derivada. Simplifique quando possível.
30.

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é que a gente precisa encontrar a derivada da função . A matéria que vamos usar aqui é o Cálculo Diferencial, especificamente a Regra do Produto, que é usada quando a gente tem uma função que é o produto de duas outras funções. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como aplicar a regra do produto e derivar funções exponenciais e hiperbólicas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas funções que estão sendo multiplicadas. No caso, temos:

Passo 3

Agora, vamos lembrar da Regra do Produto. Se temos uma função que é o produto de duas funções, ou seja, , então a derivada de é dada por:
Isso significa que a gente precisa derivar cada uma das funções e separadamente.

Passo 4

Vamos calcular a derivada de :
A derivada de é ela mesma.

Passo 5

Agora, vamos derivar . A derivada da função hiperbólica seno é:
Então, .

Passo 6

Aplicando a Regra do Produto, substituímos os valores que encontramos:

Passo 7

Podemos fatorar para simplificar a expressão:

Resposta

A derivada da função é:

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Determine se converge ou diverge.
Explique por que o Teste da Integral não pode ser usado para determinar se as séries abaixo é convergente ou não.
(d) .
Encontre a derivada. Simplifique quando possível.
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Encontre a derivada. Simplifique quando possível.
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