Explique, usando alguns dos Teoremas vistos nesta seção (em sala), por que a função é contínua em todo o número em seu domínio. Diga qual é o domínio.
(a)
(b)
©
(d)
(a)
(b)
©
(d)
Passo 1
Primeiro, vamos entender a questão. Precisamos explicar por que cada função dada é contínua em todo número no seu domínio e determinar qual é o domínio de cada uma. Isso envolve conceitos de continuidade de funções racionais, funções com raízes, funções trigonométricas e suas inversas, que são tópicos de Cálculo. Vamos analisar cada função individualmente para determinar seu domínio e verificar sua continuidade usando os teoremas apropriados.
Passo 2
(a)
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. Como se trata de uma função racional, o denominador não pode ser zero.
Resolvendo
:
Então,
e
.
Portanto, o domínio é:
Agora, para mostrar que
é contínua no seu domínio, usamos o teorema que afirma que o quociente de duas funções contínuas é contínuo onde o denominador não é zero. Como polinômios são contínuos em todo o seu domínio e o denominador não é zero no domínio encontrado,
é contínua em
.
Passo 3
(b)
Primeiro, determinamos onde a função está definida. A expressão dentro da raiz quadrada deve ser não negativa e o denominador não pode ser zero.
-
(para evitar divisão por zero) -
Resolvendo a segunda inequação:
- Para
:
Como
, essa condição é sempre verdadeira.
- Para
:
Portanto, o domínio é:
A função raiz é contínua onde está definida, e a soma e a fração também são contínuas nos seus respectivos domínios. Assim,
é contínua em
.
Passo 4
©
Primeiro, determinamos o domínio da função. O denominador não pode ser zero:
Portanto, o domínio é:
A função seno (
) é contínua para todo
, e a função linear
também é contínua. Como o denominador não é zero no domínio, o quociente é contínuo em
.
Passo 5
(d)
Primeiro, identificamos o domínio da função arco-tangente (
), que está definida para todos os números reais.
Dentro da composição,
está sempre definido e positivo para todo
, pois a função exponencial nunca é zero.
Portanto, o domínio é:
Funções exponenciais e suas composições são contínuas, e a função arco-tangente também é contínua em seus argumentos. Assim,
é contínua em todo o seu domínio
.
Resposta
(a) A função
é contínua para todos os
em
.
(b) A função
é contínua para todos os
em
.
© A função
é contínua para todos os
em
.
(d) A função
é contínua para todos os
em
.