Explique, usando alguns dos Teoremas vistos nesta seção (em sala), por que a função é contínua em todo o número em seu domínio. Diga qual é o domínio. (a) (b) (c) (d)

Passo 1

Primeiro, vamos entender a questão. Precisamos explicar por que cada função dada é contínua em todo número no seu domínio e determinar qual é o domínio de cada uma. Isso envolve conceitos de continuidade de funções racionais, funções com raízes, funções trigonométricas e suas inversas, que são tópicos de Cálculo. Vamos analisar cada função individualmente para determinar seu domínio e verificar sua continuidade usando os teoremas apropriados.

Passo 2

**(a) ** Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. Como se trata de uma função racional, o denominador não pode ser zero. Resolvendo : Então, e . Portanto, o domínio é: Agora, para mostrar que é contínua no seu domínio, usamos o teorema que afirma que o quociente de duas funções contínuas é contínuo onde o denominador não é zero. Como polinômios são contínuos em todo o seu domínio e o denominador não é zero no domínio encontrado, é contínua em .

Passo 3

**(b) ** Primeiro, determinamos onde a função está definida. A expressão dentro da raiz quadrada deve ser não negativa e o denominador não pode ser zero. 1. (para evitar divisão por zero) 2. Resolvendo a segunda inequação: - Para : Como , essa condição é sempre verdadeira. - Para : Portanto, o domínio é: A função raiz é contínua onde está definida, e a soma e a fração também são contínuas nos seus respectivos domínios. Assim, é contínua em .

Passo 4

**(c) ** Primeiro, determinamos o domínio da função. O denominador não pode ser zero: Portanto, o domínio é: A função seno () é contínua para todo , e a função linear também é contínua. Como o denominador não é zero no domínio, o quociente é contínuo em .

Passo 5

**(d) ** Primeiro, identificamos o domínio da função arco-tangente (), que está definida para todos os números reais. Dentro da composição, está sempre definido e positivo para todo , pois a função exponencial nunca é zero. Portanto, o domínio é: Funções exponenciais e suas composições são contínuas, e a função arco-tangente também é contínua em seus argumentos. Assim, é contínua em todo o seu domínio .

Resposta

(a) A função é contínua para todos os em . (b) A função é contínua para todos os em . (c) A função é contínua para todos os em . (d) A função é contínua para todos os em .

Exercícios relacionados

Dado um modelo com três setores , o equilíbrio da renda ocorre quando:
Se para todo , encontre .
Presumindo que a propensão marginal a consumir seja igual a 0,75 , descubra a variação no nível de equilíbrio da renda, se: os impostos aumentarem
Dados C = $20 + 0,50 Yd; I = $40; G = $10;Yd = Y - e , determine: o nível de equilíbrio da renda;