Explique, usando alguns dos Teoremas vistos nesta seção (em sala), por que a função é contínua em todo o número em seu domínio. Diga qual é o domínio.
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
Primeiro, vamos entender a questão. Precisamos explicar por que cada função dada é contínua em todo número no seu domínio e determinar qual é o domínio de cada uma. Isso envolve conceitos de continuidade de funções racionais, funções com raízes, funções trigonométricas e suas inversas, que são tópicos de Cálculo. Vamos analisar cada função individualmente para determinar seu domínio e verificar sua continuidade usando os teoremas apropriados.
Passo 2
**(a) **
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. Como se trata de uma função racional, o denominador não pode ser zero.
Resolvendo :
Então, e .
Portanto, o domínio é:
Agora, para mostrar que é contínua no seu domínio, usamos o teorema que afirma que o quociente de duas funções contínuas é contínuo onde o denominador não é zero. Como polinômios são contínuos em todo o seu domínio e o denominador não é zero no domínio encontrado, é contínua em .
Passo 3
**(b) **
Primeiro, determinamos onde a função está definida. A expressão dentro da raiz quadrada deve ser não negativa e o denominador não pode ser zero.
1. (para evitar divisão por zero)
2.
Resolvendo a segunda inequação:
- Para :
Como , essa condição é sempre verdadeira.
- Para :
Portanto, o domínio é:
A função raiz é contínua onde está definida, e a soma e a fração também são contínuas nos seus respectivos domínios. Assim, é contínua em .
Passo 4
**(c) **
Primeiro, determinamos o domínio da função. O denominador não pode ser zero:
Portanto, o domínio é:
A função seno ( ) é contínua para todo , e a função linear também é contínua. Como o denominador não é zero no domínio, o quociente é contínuo em .
Passo 5
**(d) **
Primeiro, identificamos o domínio da função arco-tangente ( ), que está definida para todos os números reais.
Dentro da composição, está sempre definido e positivo para todo , pois a função exponencial nunca é zero.
Portanto, o domínio é:
Funções exponenciais e suas composições são contínuas, e a função arco-tangente também é contínua em seus argumentos. Assim, é contínua em todo o seu domínio .
Resposta
(a) A função é contínua para todos os em .
(b) A função é contínua para todos os em .
(c) A função é contínua para todos os em .
(d) A função é contínua para todos os em .
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