Se 2 x <= f(x) <= x^2-4 x+7 para todo x >= 0, encontre lim x 4 f(x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos diz que para todo , a função está entre e . Precisamos encontrar o limite de quando se aproxima de 4. Vamos usar o Teorema do Sandwich (ou Teorema da Aperto) para resolver isso. O que a gente precisa aqui é comparar os limites das funções que estão “apertando” .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite de limx to 4 2x = 2 times 4 = 8 quando se aproxima de 4. Isso é simples:
Então, .

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite de limx to 4 (x^2 - 4x + 7) = 4^2 - 4 times 4 + 7 = 16 - 16 + 7 = 7 quando se aproxima de 4. Substituímos 4 na expressão:
Então, .

Passo 4

Agora, segundo o Teorema do Sandwich, se 8 <= limx to 4 f(x) <= 7 e os limites das funções de baixo e de cima são iguais, então o limite de também seria esse valor comum. Mas olha só:
Isso parece estranho, né? Estamos dizendo que 8 é menor ou igual a algo que, ao mesmo tempo, é menor ou igual a 7. Isso não faz sentido, pois 8 não é menor que 7.

Passo 5

Esse conflito indica que não existe um valor que satisfaça essa desigualdade. Portanto, não é possível que tal função exista com esses limites para .

Resposta

O limite não existe.

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