Se
para todo
, encontre
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos diz que para todo
, a função
está entre
e
. Precisamos encontrar o limite de
quando
se aproxima de 4. Vamos usar o Teorema do Sandwich (ou Teorema da Aperto) para resolver isso. O que a gente precisa aqui é comparar os limites das funções que estão “apertando”
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 4. Isso é simples:
Então,
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 4. Substituímos 4 na expressão:
Então,
.
Passo 4
Agora, segundo o Teorema do Sandwich, se
e os limites das funções de baixo e de cima são iguais, então o limite de
também seria esse valor comum. Mas olha só:
Isso parece estranho, né? Estamos dizendo que 8 é menor ou igual a algo que, ao mesmo tempo, é menor ou igual a 7. Isso não faz sentido, pois 8 não é menor que 7.
Passo 5
Esse conflito indica que não existe um valor que satisfaça essa desigualdade. Portanto, não é possível que tal função
exista com esses limites para
.
Resposta
O limite
não existe.