(Exponencial) O tempo de vida de um componente eletrônico segue uma distribuição exponencial com média de 2 horas. Qual é a probabilidade de o componente durar mais de 3 horas?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um problema que fala sobre o tempo de vida de um componente eletrônico, que segue uma distribuição exponencial. A média desse tempo é de 2 horas. A pergunta é: qual a probabilidade desse componente durar mais de 3 horas? Para resolver isso, a gente vai precisar entender o que é distribuição exponencial e como calcular probabilidades com ela.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a distribuição exponencial é usada para modelar o tempo entre eventos que acontecem de forma contínua e independente, como a vida de um componente eletrônico. A principal característica dessa distribuição é que ela tem um parâmetro chamado “taxa” (λ), que está relacionado com a média.

Passo 3

Sabemos que a média (µ) de uma distribuição exponencial é o inverso da taxa λ. Ou seja:
mu = 1lambda
Como a média é 2 horas, podemos encontrar λ:
lambda = 1mu = 12 , hora^-1

Passo 4

A probabilidade de que o componente dure mais que um certo tempo t na distribuição exponencial é dada pela função de sobrevivência:
P(X > t) = e^-lambda t
Essa fórmula nos dá a chance de o evento (no caso, o componente não falhar) durar além de t horas.

Passo 5

Agora, vamos aplicar os valores que temos na fórmula. Queremos saber a probabilidade de durar mais de 3 horas, então t = 3, e já encontramos λ = 0,5 hora⁻¹:
P(X > 3) = e^-0,5 times 3

Passo 6

Vamos calcular o valor:
P(X > 3) = e^-1,5 approx 0,2231
Isso significa que há aproximadamente 22,31% de chance do componente durar mais de 3 horas.

Resposta

A probabilidade de o componente durar mais de 3 horas é de aproximadamente 22,31%.

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