(Exponencial) O tempo de vida de um componente eletrônico segue uma distribuição exponencial com média de 2 horas. Qual é a probabilidade de o componente durar mais de 3 horas?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um problema que fala sobre o tempo de vida de um componente eletrônico, que segue uma distribuição exponencial. A média desse tempo é de 2 horas. A pergunta é: qual a probabilidade desse componente durar mais de 3 horas? Para resolver isso, a gente vai precisar entender o que é distribuição exponencial e como calcular probabilidades com ela.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a distribuição exponencial é usada para modelar o tempo entre eventos que acontecem de forma contínua e independente, como a vida de um componente eletrônico. A principal característica dessa distribuição é que ela tem um parâmetro chamado “taxa” (λ), que está relacionado com a média.
Passo 3
Sabemos que a média (µ) de uma distribuição exponencial é o inverso da taxa λ. Ou seja:
Como a média é 2 horas, podemos encontrar λ:
Passo 4
A probabilidade de que o componente dure mais que um certo tempo t na distribuição exponencial é dada pela função de sobrevivência:
Essa fórmula nos dá a chance de o evento (no caso, o componente não falhar) durar além de t horas.
Passo 5
Agora, vamos aplicar os valores que temos na fórmula. Queremos saber a probabilidade de durar mais de 3 horas, então t = 3, e já encontramos λ = 0,5 hora⁻¹:
Passo 6
Vamos calcular o valor:
Isso significa que há aproximadamente 22,31% de chance do componente durar mais de 3 horas.
Resposta
A probabilidade de o componente durar mais de 3 horas é de aproximadamente 22,31%.