Um teste é positivo em 99% dos casos em que a doença está presente e em 5% dos casos em que a doença não está presente. Se
da população tem a doença, qual é a probabilidade de que uma pessoa testada aleatoriamente que obtém um resultado positivo realmente tenha a doença?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma questão sobre probabilidade, especificamente usando o Teorema de Bayes. A gente vai analisar a chance de uma pessoa realmente ter uma doença se ela fez um teste que deu positivo. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre probabilidades condicionais e como elas se aplicam aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar as informações que a gente tem:
- Sensibilidade do teste: 99% das vezes que a pessoa tem a doença, o teste dá positivo. Isso é
. - Taxa de falso positivo: 5% das vezes que a pessoa NÃO tem a doença, o teste ainda dá positivo. Isso é
. - Prevalência da doença: 0,1% da população tem a doença, ou seja,
.
Queremos descobrir
, ou seja, a probabilidade de ter a doença dado que o teste deu positivo.
Passo 3
Aqui entra o Teorema de Bayes, que nos ajuda a reverter as condições das probabilidades. A fórmula é:
Mas primeiro, precisamos calcular
, que é a probabilidade total de um teste dar positivo, seja a pessoa ter ou não a doença.
Passo 4
Para encontrar
, usamos a regra da probabilidade total:
Sabemos que
.
Passo 5
Vamos calcular
:
Passo 6
Agora, voltando ao Teorema de Bayes:
Resposta
A probabilidade de que uma pessoa que testou positivo realmente tenha a doença é de aproximadamente 1,94%.
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têm resistências reais variando entre
e
. A função densidade de probabilidade de
é dada por
a. Esboce o gráfico da f.d.p. de
usando o
.
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