Um teste é positivo em 99% dos casos em que a doença está presente e em 5% dos casos em que a doença não está presente. Se 0,1 % da população tem a doença, qual é a probabilidade de que uma pessoa testada aleatoriamente que obtém um resultado positivo realmente tenha a doença?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma questão sobre probabilidade, especificamente usando o Teorema de Bayes. A gente vai analisar a chance de uma pessoa realmente ter uma doença se ela fez um teste que deu positivo. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre probabilidades condicionais e como elas se aplicam aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar as informações que a gente tem:
  • Sensibilidade do teste: 99% das vezes que a pessoa tem a doença, o teste dá positivo. Isso é ç.
  • Taxa de falso positivo: 5% das vezes que a pessoa NÃO tem a doença, o teste ainda dá positivo. Isso é ãç.
  • Prevalência da doença: 0,1% da população tem a doença, ou seja, ç.
Queremos descobrir ç, ou seja, a probabilidade de ter a doença dado que o teste deu positivo.

Passo 3

Aqui entra o Teorema de Bayes, que nos ajuda a reverter as condições das probabilidades. A fórmula é:
P(Doença | Positivo) = P(Positivo | Doença) times P(Doença)P(Positivo) ççç
Mas primeiro, precisamos calcular , que é a probabilidade total de um teste dar positivo, seja a pessoa ter ou não a doença.

Passo 4

Para encontrar P(Positivo) = P(Positivo | Doença) times P(Doença) + P(Positivo | Não Doença) times P(Não Doença) , usamos a regra da probabilidade total:
ççãçãç
Sabemos que ãçç.

Passo 5

Vamos calcular P(Positivo) = 0,99 times 0,001 + 0,05 times 0,999 = 0,00099 + 0,04995 = 0,05094 :

Passo 6

Agora, voltando ao Teorema de Bayes:
P(Doença | Positivo) = 0,99 times 0,0010,05094 = 0,000990,05094 approx 0,0194 ç

Resposta

A probabilidade de que uma pessoa que testou positivo realmente tenha a doença é de aproximadamente 1,94%.

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