define em um produto interno.
Sendo e vetores em , calcule , .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que calcular o produto interno entre duas matrizes e usando a fórmula dada, além das normas de cada uma delas. Isso está relacionado ao estudo de produtos internos em espaços de matrizes, especificamente em , que é o conjunto de todas as matrizes 2x2. Para resolver, vamos precisar entender como calcular o traço de uma matriz e como encontrar a norma de uma matriz usando o produto interno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o traço de uma matriz. O traço () de uma matriz é a soma dos elementos da diagonal principal. Por exemplo, se temos uma matriz , então .
Passo 3
Agora, vamos calcular , que é a transposta da matriz . A transposta de uma matriz é obtida trocando suas linhas por colunas. Dada , sua transposta é:
No caso de , como ela é simétrica, a transposta é igual a ela mesma.
Passo 4
Agora, vamos multiplicar por . A multiplicação de matrizes é feita multiplicando as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda. Então:
Passo 5
Com o resultado da multiplicação, agora vamos calcular o traço dessa matriz:
Portanto, .
Passo 6
Agora, vamos calcular as normas de e . A norma de uma matriz no espaço de produto interno é dada por: