Calcule as seguintes derivadas log 2(sen 2 x)

Passo 1

Vamos calcular a derivada de log 2(sen 2x). Para isso, vamos usar conceitos de derivadas de funções compostas e logaritmos.

Passo 2

Primeiro, lembre que a derivada de uma função logarítmica com base a é dada por:
ddx loga u = 1u cdot ln a cdot dudx
Aqui, u é uma função de x.

Passo 3

No nosso caso, temos u = sen 2x. Então, aplicando a fórmula:
ddx log2 (sen 2x) = 1sen 2x cdot ln 2 cdot ddx (sen 2x)

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada de sen 2x. Sabemos que:
ddx sen 2x = 2 cdot cos 2x
Isso porque a derivada de sen u em relação a x é cos u cdot dudx.

Passo 5

Substituindo essa derivada de volta na expressão original:
ddx log2 (sen 2x) = 1sen 2x cdot ln 2 cdot 2 cdot cos 2x

Passo 6

Simplificando os termos:
ddx log2 (sen 2x) = 2 cdot cos 2xsen 2x cdot ln 2
E isso pode ser reescrito usando a função cotangente:
ddx log2 (sen 2x) = 2ln 2 cdot cot 2x

Resposta

A derivada de log 2(sen 2x) é:
2 cdot cos 2xsen 2x cdot ln 2 ou 2ln 2 cdot cot 2x

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