Sejam e pontos de e sejam e vetores de tais que e A B=v.
(1) Faça uma figura na qual estejam representados adequadamente os pontos A, B, C e D e os vetores u e v.
(2) Exprima C D, B D e C A em função de u e v.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre pontos no espaço tridimensional (E^3) e vetores. Precisamos desenhar uma figura com os pontos A, B, C, D e os vetores u e v. Depois, vamos expressar alguns vetores (CD, BD e CA) usando u e v. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como adição e subtração de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar como desenhar os pontos e vetores.
Suponha que o ponto A esteja em alguma posição no espaço.
A partir de A, o vetor v vai até B, então B está na direção de v a partir de A.
De B, o vetor BC = 3u nos leva até C.
De A, o vetor AD = 5u nos leva até D.
Dessa forma, temos todos os pontos conectados pelos vetores u e v.
Passo 3
Agora, vamos expressar CD em termos de u e v.
Primeiro, lembremos que CD = C - D. Mas precisamos relacionar isso com os vetores dados.
Sabemos que:
AD = 5u Rightarrow D = A + 5u
AB = v Rightarrow B = A + v
BC = 3u Rightarrow C = B + 3u = A + v + 3u
Então,
CD = C - D = (A + v + 3u) - (A + 5u) = v + 3u - 5u = v - 2u