Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma transformação linear
que pega uma matriz
e retorna um número real. A transformação é definida assim:
Aqui, estamos lidando com transformações lineares e determinantes de matrizes. Para resolver isso, vamos entender como calcular o determinante e como aplicar a transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um determinante. O determinante de uma matriz
, como
, é calculado assim:
No caso da nossa transformação
, queremos calcular o determinante da matriz
. Mas olha só, uma matriz
não tem determinante! O determinante só é definido para matrizes quadradas. Então, deve ter alguma confusão aí no enunciado.
Passo 3
Vamos pensar que talvez tenha havido um erro na formulação e que o determinante pretendido seja da matriz inteira
. Se for esse o caso, o determinante seria:
Então, a transformação
nesse cenário seria:
Passo 4
Agora, vamos verificar se
é uma transformação linear. Para isso, precisamos ver se ela satisfaz duas propriedades:
- Adição:
- Multiplicação por escalar:
Vamos testar essas propriedades.
Passo 5
Propriedade 1: Adição
Se
e
, então:
Calculando
:
Agora, calculando
:
Claramente,
a menos que
, o que não é garantido. Portanto,
não é uma transformação linear.
Passo 6
Já que identificamos que
não é linear, podemos concluir que essa transformação não preserva as propriedades de adição e multiplicação por escalar necessárias para ser considerada linear. Isso significa que
não satisfaz as condições para ser uma transformação linear no espaço das matrizes
.
Resposta
A transformação
definida por
não é uma transformação linear.
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define em
um produto interno.
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vetores em
, calcule
,
.
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e
vetores em
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de modo que os vetores
e
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Calcule as seguintes derivadas
Encontre
diferenciando implicitamente