Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma transformação linear que pega uma matriz e retorna um número real. A transformação é definida assim:
Aqui, estamos lidando com transformações lineares e determinantes de matrizes. Para resolver isso, vamos entender como calcular o determinante e como aplicar a transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um determinante. O determinante de uma matriz , como , é calculado assim:
No caso da nossa transformação , queremos calcular o determinante da matriz . Mas olha só, uma matriz não tem determinante! O determinante só é definido para matrizes quadradas. Então, deve ter alguma confusão aí no enunciado.

Passo 3

Vamos pensar que talvez tenha havido um erro na formulação e que o determinante pretendido seja da matriz inteira . Se for esse o caso, o determinante seria:
Então, a transformação nesse cenário seria:

Passo 4

Agora, vamos verificar se é uma transformação linear. Para isso, precisamos ver se ela satisfaz duas propriedades:
  1. Adição:
  2. Multiplicação por escalar:
Vamos testar essas propriedades.

Passo 5

Propriedade 1: Adição
Se e , então:
Calculando :
Agora, calculando :
Claramente, a menos que , o que não é garantido. Portanto, não é uma transformação linear.

Passo 6

Já que identificamos que não é linear, podemos concluir que essa transformação não preserva as propriedades de adição e multiplicação por escalar necessárias para ser considerada linear. Isso significa que não satisfaz as condições para ser uma transformação linear no espaço das matrizes .

Resposta

A transformação definida por não é uma transformação linear.

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