1. T: M(2, 2) longrightarrow R, T([lla & 0 c & d])=det[llc & d]

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma transformação linear T( a & 0 c & d ) = det( c & d ) que pega uma matriz e retorna um número real. A transformação é definida assim:
Aqui, estamos lidando com transformações lineares e determinantes de matrizes. Para resolver isso, vamos entender como calcular o determinante e como aplicar a transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um determinante. O determinante de uma matriz e & f g & h , como det( e & f g & h ) = e cdot h - f cdot g , é calculado assim:
c & d
No caso da nossa transformação , queremos calcular o determinante da matriz . Mas olha só, uma matriz não tem determinante! O determinante só é definido para matrizes quadradas. Então, deve ter alguma confusão aí no enunciado.

Passo 3

Vamos pensar que talvez tenha havido um erro na formulação e que o determinante pretendido seja da matriz inteira a & 0 c & d . Se for esse o caso, o determinante seria:
det( a & 0 c & d ) = a cdot d - 0 cdot c = a cdot d
Então, a transformação T( a & 0 c & d ) = a cdot d nesse cenário seria:

Passo 4

Agora, vamos verificar se é uma transformação linear. Para isso, precisamos ver se ela satisfaz duas propriedades:
  1. Adição:
  2. Multiplicação por escalar:
Vamos testar essas propriedades.

Passo 5

Propriedade 1: Adição
Se a & 0 c & d e e & 0 f & g , então:
A + B = a + e & 0 + 0 c + f & d + g = a + e & 0 c + f & d + g
Calculando T(A + B) = (a + e) cdot (d + g) = a cdot d + a cdot g + e cdot d + e cdot g :
T(A) + T(B) = (a cdot d) + (e cdot g) = a cdot d + e cdot g
Agora, calculando :
Claramente, a menos que , o que não é garantido. Portanto, não é uma transformação linear.

Passo 6

Já que identificamos que não é linear, podemos concluir que essa transformação não preserva as propriedades de adição e multiplicação por escalar necessárias para ser considerada linear. Isso significa que não satisfaz as condições para ser uma transformação linear no espaço das matrizes .

Resposta

A transformação a & 0 c & d definida por não é uma transformação linear.

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