Expresse a área de cada região limitada pelas curvas dadas em termos de integrais definidas. Em seguida calcule a área.
e
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a área das regiões delimitadas pelas curvas
,
e
. Para isso, vamos usar o conceito de integrais definidas, que nos ajudam a calcular áreas entre curvas. Precisamos identificar onde essas curvas se cruzam e, em seguida, configurar as integrais apropriadas para encontrar a área desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção entre as curvas. Vamos igualar as equações duas a duas:
-
Entre
e : Substituindo em: Ponto de interseção: -
Entre
e : Ponto de interseção: -
Entre
e : Ponto de interseção:
Passo 3
Com os pontos de interseção identificados, vamos desenhar um esboço para visualizar as regiões. Observamos que existem duas regiões limitadas pelas curvas:
- Entre
e , delimitadas por de baixo e de cima. - Entre
e , delimitadas por de baixo e de cima.
Passo 4
Vamos agora configurar as integrais definidas para cada região.
Primeira Região:
- Limite inferior:
- Limite superior:
- Intervalo de integração:
de a
A integral fica:
Segunda Região:
- Limite inferior:
- Limite superior:
- Intervalo de integração:
de a
A integral fica:
Passo 5
Vamos calcular cada integral separadamente.
Calculando
:
Substituindo os limites:
Como área não pode ser negativa, tomamos o valor absoluto:
Calculando
:
Substituindo os limites:
Resposta
A área total das regiões limitadas pelas curvas é
unidades quadradas.