Expresse a área de cada região limitada pelas curvas dadas em termos de integrais definidas. Em seguida calcule a área.
x + y = 3, y = 1/2 e y = 2 x;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a área das regiões delimitadas pelas curvas , e . Para isso, vamos usar o conceito de integrais definidas, que nos ajudam a calcular áreas entre curvas. Precisamos identificar onde essas curvas se cruzam e, em seguida, configurar as integrais apropriadas para encontrar a área desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção entre as curvas. Vamos igualar as equações duas a duas:
  1. Entre e :
    Substituindo em :
    Ponto de interseção:
  2. Entre e :
    Ponto de interseção:
  3. Entre e :
    Ponto de interseção:

Passo 3

Com os pontos de interseção identificados, vamos desenhar um esboço para visualizar as regiões. Observamos que existem duas regiões limitadas pelas curvas:
  1. Entre e , delimitadas por de baixo e de cima.
  2. Entre e , delimitadas por de baixo e de cima.

Passo 4

Vamos agora configurar as integrais definidas para cada região.
Primeira Região:
  • Limite inferior:
  • Limite superior:
  • Intervalo de integração: de a
A integral fica:
Segunda Região:
  • Limite inferior:
  • Limite superior:
  • Intervalo de integração: de a
A integral fica:

Passo 5

Vamos calcular cada integral separadamente.
Calculando :
Substituindo os limites:
Como área não pode ser negativa, tomamos o valor absoluto:
Calculando :
Substituindo os limites:

Resposta

A área total das regiões limitadas pelas curvas é unidades quadradas.

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