Expresse a área de cada região limitada pelas curvas dadas em termos de integrais definidas. Em seguida calcule a área.
e 2 pontos de intersecção consecutivos.
Passo 1
E aí! Então, a gente tem um problema que envolve calcular a área das regiões delimitadas pelas curvas e
. A gente vai usar um pouco de cálculo, especificamente integrais definidas, para resolver isso. Primeiro, vamos precisar encontrar os pontos onde essas duas curvas se encontram, porque são nesses pontos que a gente vai determinar os limites da integração para calcular a área.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção entre e
. Para isso, igualamos as duas funções:
Passo 3
Para resolver essa equação, podemos dividir os dois lados por
(desde que
):
Passo 4
Sabemos que
quando
, onde
é um inteiro. Isso significa que os pontos de interseção consecutivos são
e
.
Passo 5
Agora, vamos determinar qual das duas funções está acima da outra nesse intervalo. Vamos testar com um valor entre
e
, por exemplo,
:
Então, nesse intervalo.
Passo 6
A área entre duas curvas é dada pela integral da função de cima menos a função de baixo, integrada entre os limites de integração. Então, a área
é:
Passo 7
Vamos calcular essa integral:
Passo 8
Integrando cada parte:
Então:
Passo 9
Agora, substituímos os limites de integração:
Sabemos que:
Passo 10
Substituindo esses valores:
Simplificando:
Resposta
A área das regiões limitadas pelas curvas e
entre dois pontos de interseção consecutivos é
unidades de área.