Expresse a área de cada região limitada pelas curvas dadas em termos de integrais definidas. Em seguida calcule a área.
y = sen(x), y = cos(x) e 2 pontos de intersecção consecutivos.

Passo 1

E aí! Então, a gente tem um problema que envolve calcular a área das regiões delimitadas pelas curvas e . A gente vai usar um pouco de cálculo, especificamente integrais definidas, para resolver isso. Primeiro, vamos precisar encontrar os pontos onde essas duas curvas se encontram, porque são nesses pontos que a gente vai determinar os limites da integração para calcular a área.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção entre e . Para isso, igualamos as duas funções:

Passo 3

Para resolver essa equação, podemos dividir os dois lados por (desde que ):

Passo 4

Sabemos que quando , onde é um inteiro. Isso significa que os pontos de interseção consecutivos são e .

Passo 5

Agora, vamos determinar qual das duas funções está acima da outra nesse intervalo. Vamos testar com um valor entre e , por exemplo, :
Então, nesse intervalo.

Passo 6

A área entre duas curvas é dada pela integral da função de cima menos a função de baixo, integrada entre os limites de integração. Então, a área é:

Passo 7

Vamos calcular essa integral:

Passo 8

Integrando cada parte:
Então:

Passo 9

Agora, substituímos os limites de integração:
Sabemos que:

Passo 10

Substituindo esses valores:
Simplificando:

Resposta

A área das regiões limitadas pelas curvas e entre dois pontos de interseção consecutivos é unidades de área.

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