Calcule as expressões das derivadas e os seus respectivos valores nos pontos dados:
(20.1)
, no ponto
(20.1)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá duas funções paramétricas:
e
, onde
está no intervalo
. Nosso objetivo é calcular a derivada
e encontrar o valor dela no ponto onde
. Para isso, vamos precisar usar a regra da cadeia para derivadas de funções paramétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas de
e
em relação a
. Ou seja, vamos calcular
e
.
Sabemos que:
Derivando em relação a
:
E para
:
Derivando em relação a
:
Aqui, usamos a regra da cadeia: a derivada de
é
.
Passo 3
Agora, para encontrar
, usamos a regra da cadeia que nos diz que:
Substituindo as derivadas que encontramos:
Passo 4
Queremos saber o valor de
no ponto onde
. Vamos substituir
na expressão que encontramos.
Primeiro, calculamos
quando
:
E
:
Passo 5
Agora, substituímos esses valores na expressão de
:
Podemos racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador por
:
Resposta
A derivada
é
no ponto onde
.