Calcule as expressões das derivadas e os seus respectivos valores nos pontos dados:
(20.1) lx=sen t y=sen(2 t), t in[-pi2, pi2], d yd x, no ponto t=pi6

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá duas funções paramétricas: e , onde está no intervalo . Nosso objetivo é calcular a derivada e encontrar o valor dela no ponto onde . Para isso, vamos precisar usar a regra da cadeia para derivadas de funções paramétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas de x = sin(t) e dxdt = cos(t) em relação a y = sin(2t) . Ou seja, vamos calcular dydt = 2cos(2t) e .
Sabemos que:
Derivando em relação a :
E para :
Derivando em relação a :
Aqui, usamos a regra da cadeia: a derivada de é .

Passo 3

Agora, para encontrar dydx = dydtdxdt , usamos a regra da cadeia que nos diz que:
dydx = 2cos(2t)cos(t)
Substituindo as derivadas que encontramos:

Passo 4

Queremos saber o valor de 2t = 2 times pi6 = pi3 no ponto onde cos(pi3) = 12 . Vamos substituir cos(pi6) = raiz32 na expressão que encontramos.
Primeiro, calculamos quando :
E :

Passo 5

Agora, substituímos esses valores na expressão de dydx = 2 times 12raiz32 = 1raiz32 = 2raiz3 :
2raiz3 times raiz3raiz3 = 2raiz33
Podemos racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador por :

Resposta

A derivada é no ponto onde .

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