Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A gente precisa encontrar a série de Laurent da função no anel . Isso está dentro do conteúdo de séries de Laurent em análise complexa. Para resolver, vamos precisar entender como expandir a função em uma série que funcione nesse anel específico.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da função. Podemos fatorar o denominador:
Passo 3
Agora, vamos identificar os polos da função. As raízes do denominador são e , que são os pontos onde a função tem singularidades.
Passo 4
Como queremos a série de Laurent em torno de (porque o anel é ), vamos fazer uma mudança de variável para centralizar a expansão nesse ponto. Vamos definir:
Assim, nossa função fica:
Passo 5
Vamos usar a decomposição em frações parciais para separar a função:
Multiplicando ambos os lados por :
Para encontrar e , escolhemos valores que simplificam a equação:
Se :
Se :
Então,
Passo 6
Agora, precisamos expandir cada fração em série de Laurent no anel . Vamos reescrever as frações:
Passo 7
Usando a fórmula da série geométrica para , expandimos cada termo:
Passo 8
Nossa série de Laurent será a soma dessas duas séries: