Encontrar a série de Laurent da função f(z)=2/(z^2-1) em anel 1 < |z + 2| < 3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A gente precisa encontrar a série de Laurent da função no anel . Isso está dentro do conteúdo de séries de Laurent em análise complexa. Para resolver, vamos precisar entender como expandir a função em uma série que funcione nesse anel específico.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da função. Podemos fatorar o denominador:

Passo 3

Agora, vamos identificar os polos da função. As raízes do denominador são e , que são os pontos onde a função tem singularidades.

Passo 4

Como queremos a série de Laurent em torno de (porque o anel é ), vamos fazer uma mudança de variável para centralizar a expansão nesse ponto. Vamos definir:
Assim, nossa função fica:

Passo 5

Vamos usar a decomposição em frações parciais para separar a função:
Multiplicando ambos os lados por :
Para encontrar e , escolhemos valores que simplificam a equação:
  • Se :
  • Se :
Então,

Passo 6

Agora, precisamos expandir cada fração em série de Laurent no anel . Vamos reescrever as frações:

Passo 7

Usando a fórmula da série geométrica para , expandimos cada termo:

Passo 8

Nossa série de Laurent será a soma dessas duas séries:
Substituindo :

Resposta

A série de Laurent da função no anel é dada por:

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