Encontrar a série de Laurent da função
em anel
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A gente precisa encontrar a série de Laurent da função
no anel
. Isso está dentro do conteúdo de séries de Laurent em análise complexa. Para resolver, vamos precisar entender como expandir a função em uma série que funcione nesse anel específico.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da função. Podemos fatorar o denominador:
Passo 3
Agora, vamos identificar os polos da função. As raízes do denominador são
e
, que são os pontos onde a função tem singularidades.
Passo 4
Como queremos a série de Laurent em torno de
(porque o anel é
), vamos fazer uma mudança de variável para centralizar a expansão nesse ponto. Vamos definir:
Assim, nossa função fica:
Passo 5
Vamos usar a decomposição em frações parciais para separar a função:
Multiplicando ambos os lados por
:
Para encontrar
e
, escolhemos valores que simplificam a equação:
- Se
:
- Se
:
Então,
Passo 6
Agora, precisamos expandir cada fração em série de Laurent no anel
. Vamos reescrever as frações:
Passo 7
Usando a fórmula da série geométrica
para
, expandimos cada termo:
Passo 8
Nossa série de Laurent será a soma dessas duas séries:
Substituindo
:
Resposta
A série de Laurent da função
no anel
é dada por: