Expresse d/y d/x em termos de x e de y, onde y = f(x) é uma função diferenciável dada implicitamente pela equação e^y + x * y = x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a derivada de em relação a , ou seja, , onde é uma função diferenciável de dada pela equação . Vamos usar derivação implícita para resolver isso, que é uma técnica quando está misturado com na equação.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . A ideia aqui é aplicar a derivada termo a termo.

Passo 3

Agora, vamos derivar cada termo. Começando com , usamos a regra da cadeia porque é uma função de . A derivada de em relação a é:

Passo 4

Em seguida, derivamos . Aqui, aplicamos a regra do produto porque temos dois fatores que dependem de :

Passo 5

A derivada de em relação a é simplesmente 1:

Passo 6

Agora, substituímos essas derivadas na equação original:
Vamos juntar os termos que contêm :

Passo 7

Para isolar , dividimos ambos os lados da equação por :

Resposta

Assim, a derivada de em relação a é:

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