Expresse em termos de e de , onde é uma função diferenciável dada implicitamente pela equação

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação que relaciona e . A questão pede para encontrarmos , que é a derivada de em relação a . Isso faz parte do estudo de Derivadas Implícitas na matéria de Cálculo. Para resolver, vamos precisar saber como diferenciar funções onde está definida de forma implícita, ou seja, dentro de uma equação que relaciona e .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação dada para deixar claro o que precisamos diferenciar:
Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Isso é a essência da Derivada Implícita, onde tratamos como uma função de .

Passo 3

Vamos começar diferenciando o termo . Para isso, usamos a regra da derivada de uma função potência onde a base e o expoente são funções de :
Aqui, aplicamos a regra do logaritmo natural ( ) para lidar com a potência.

Passo 4

Em seguida, diferenciamos o termo em relação a :
E o termo em relação a :
Essa última aplicação usa a Regra da Cadeia, já que é uma função de .

Passo 5

Agora, juntamos todas as derivadas na equação original diferenciada:
Nosso objetivo é isolar , então vamos reorganizar os termos para reunir todos que contêm de um lado.

Passo 6

Vamos distribuir o no primeiro termo:
Agora, movemos os termos sem para o outro lado:

Passo 7

Fatoramos no lado esquerdo:
Agora, isolamos dividindo ambos os lados pelo fator que está multiplicando :

Resposta

A derivada em termos de e é:

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Expresse em termos de e de , onde é uma função diferenciável dada implicitamente pela equação
Determine a derivada
Expresse em termos de e de , onde é uma função diferenciável dada implicitamente pela equação