Expresse
em termos de
e de
, onde
é uma função diferenciável dada implicitamente pela equação
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação
, e precisamos encontrar a derivada
em termos de
e
. Para isso, vamos usar o conceito de derivação implícita, que é quando a função
está embutida na equação junto com
. Vamos precisar conhecer as regras básicas de derivação, como a derivada de potências e a derivada de funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar cada termo da equação em relação a
. Lembre-se que
é uma função de
, então quando derivamos
, usamos a notação
.
A equação original é:
Vamos derivar cada parte:
-
Derivada de
: - Usamos a regra da potência: a derivada de
é . - Então,
.
- Usamos a regra da potência: a derivada de
-
Derivada de
: - Aqui precisamos usar a regra do produto: se temos
, a derivada é . - Seja
e . - Então,
.
- Aqui precisamos usar a regra do produto: se temos
-
Derivada de
: - A derivada de uma constante é
.
- A derivada de uma constante é
Passo 3
Agora, juntando tudo, temos:
Nosso objetivo é isolar
, então vamos reorganizar os termos que contêm
.
Passo 4
Vamos agrupar os termos com
:
Agora, vamos mover o termo sem
para o outro lado da equação:
Passo 5
Para isolar
, dividimos ambos os lados da equação por
:
Podemos simplificar removendo o sinal negativo:
Resposta
A derivada
em termos de
e
é:
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Determine a derivada
Expresse
em termos de
e de
, onde
é uma função diferenciável dada implicitamente pela equação
Determine a derivada
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