Expresse d/y d/x em termos de x e de y, onde y = f(x) é uma função diferenciável dada implicitamente pela equação y^3 + sen(x) y = 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação , e precisamos encontrar a derivada em termos de x e y. Para isso, vamos usar o conceito de derivação implícita, que é quando a função y está embutida na equação junto com x. Vamos precisar conhecer as regras básicas de derivação, como a derivada de potências e a derivada de funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar cada termo da equação em relação a x. Lembre-se que y é uma função de x, então quando derivamos y, usamos a notação .
A equação original é:
Vamos derivar cada parte:
  1. Derivada de :
    • Usamos a regra da potência: a derivada de é .
    • Então, .
  2. Derivada de :
    • Aqui precisamos usar a regra do produto: se temos , a derivada é .
    • Seja e .
    • Então, .
  3. Derivada de 1:
    • A derivada de uma constante é 0.

Passo 3

Agora, juntando tudo, temos:
Nosso objetivo é isolar , então vamos reorganizar os termos que contêm .

Passo 4

Vamos agrupar os termos com :
Agora, vamos mover o termo sem para o outro lado da equação:

Passo 5

Para isolar , dividimos ambos os lados da equação por :
Podemos simplificar removendo o sinal negativo:

Resposta

A derivada em termos de x e y é:

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