Expresse
em termos de
e
, onde
é uma função derivável dada implicitamente pela equação:
.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver um exercício de derivadas implícitas. A equação que temos é
. O que precisamos fazer aqui é encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
, enquanto expressamos tudo em termos de
e
. Então, o que vamos usar aqui é a regra da derivação de funções implícitas.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. Quando derivo um produto ou uma função que depende de
, eu preciso usar a regra do produto e lembrar que
é uma função de
, então a derivada de
em relação a
vai aparecer. Vamos lá:
A derivada do lado esquerdo
:
- Para
, usando a regra do produto:
$ \frac{d}{dx}(xy) = y + x\frac{dy}{dx} $. - Para
, aplicamos a regra da cadeia:
$ \frac{d}{dx}(y^3) = 3y^{2}\frac{dy}{dx} $.
Então, a derivada do lado esquerdo fica: $ y + x\frac{dy}{dx} + 3y^{2}\frac{dy}{dx} $.
Agora, a derivada do lado direito que é
: $ \frac{d}{dx}(x) = 1 $.
Agora juntando tudo, temos:
Passo 3
Agora precisamos isolar
. Vamos juntar os termos que têm
. Temos:
Podemos fatorar
:
Agora, para isolar
, é só dividir pelo que está multiplicando:
Essa é a expressão que queríamos.
Resposta
Assim, a derivada
em termos de
e
é dada por:
Exercícios relacionados
Use a derivação logarítmica para determinar
:
.
Use a derivação logarítmica para determinar
:
.
Derive:
.
Determine a derivada das funções dada.