Expresse em termos de e , onde é uma função derivável dada implicitamente pela equação:
.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver um exercício de derivadas implícitas. A equação que temos é . O que precisamos fazer aqui é encontrar a derivada de em relação a , ou seja, , enquanto expressamos tudo em termos de e . Então, o que vamos usar aqui é a regra da derivação de funções implícitas.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Quando derivo um produto ou uma função que depende de , eu preciso usar a regra do produto e lembrar que é uma função de , então a derivada de em relação a vai aparecer. Vamos lá:
A derivada do lado esquerdo :
  • Para , usando a regra do produto:
    $ \frac{d}{dx}(xy) = y + x\frac{dy}{dx} $.
  • Para , aplicamos a regra da cadeia:
    $ \frac{d}{dx}(y^3) = 3y^{2}\frac{dy}{dx} $.
Então, a derivada do lado esquerdo fica: $ y + x\frac{dy}{dx} + 3y^{2}\frac{dy}{dx} $.
Agora, a derivada do lado direito que é : $ \frac{d}{dx}(x) = 1 $.
Agora juntando tudo, temos:

Passo 3

Agora precisamos isolar . Vamos juntar os termos que têm . Temos:
Podemos fatorar :
Agora, para isolar , é só dividir pelo que está multiplicando:
Essa é a expressão que queríamos.

Resposta

Assim, a derivada em termos de e é dada por:

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Use a derivação logarítmica para determinar :
.
Use a derivação logarítmica para determinar :
.
Derive:
.
Determine a derivada das funções dada.