Use a derivação logarítmica para determinar
:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para usar a derivação logarítmica para encontrar a derivada de
. O assunto aqui é derivadas, que são uma parte importante do cálculo, usadas para encontrar a taxa de variação de uma função. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas propriedades dos logaritmos e a regra da cadeia.
Passo 2
A primeira coisa que vamos fazer é aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação. Então, vamos ter:
Usando a propriedade dos logaritmos que diz que
, podemos simplificar a equação:
Passo 3
Agora, precisamos derivar ambos os lados em relação a
. Aqui, vamos usar a regra da cadeia do lado esquerdo e a regra do produto do lado direito. Lembrando que, se temos
, a derivada de
em relação a
é:
Então, derivando a equação que temos:
Agora, vamos derivar o lado direito usando a regra do produto:
Aqui, a segunda parte usa a regra da cadeia, onde a derivada de
é
.
Assim, nossa derivada fica:
Passo 4
Agora, para encontrar
, vamos multiplicar ambos os lados por
:
Mas, lembra que
? Então, substituímos isso de volta na equação:
Resposta
Então, a derivada de
em relação a
é:
Exercícios relacionados
Determine a derivada em cada caso:
Seja
uma função diferenciável até a segunda ordem e seja
dada por
. Verifique que
.
Use a derivação logarítmica para determinar
:
.
Expresse
em termos de
e
, onde
é uma função derivável dada implicitamente pela equação:
.