Use a derivação logarítmica para determinar :
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para usar a derivação logarítmica para encontrar a derivada de . O assunto aqui é derivadas, que são uma parte importante do cálculo, usadas para encontrar a taxa de variação de uma função. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas propriedades dos logaritmos e a regra da cadeia.

Passo 2

A primeira coisa que vamos fazer é aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação. Então, vamos ter:
Usando a propriedade dos logaritmos que diz que , podemos simplificar a equação:

Passo 3

Agora, precisamos derivar ambos os lados em relação a . Aqui, vamos usar a regra da cadeia do lado esquerdo e a regra do produto do lado direito. Lembrando que, se temos , a derivada de em relação a é:
Então, derivando a equação que temos:
Agora, vamos derivar o lado direito usando a regra do produto:
Aqui, a segunda parte usa a regra da cadeia, onde a derivada de é .
Assim, nossa derivada fica:

Passo 4

Agora, para encontrar , vamos multiplicar ambos os lados por :
Mas, lembra que ? Então, substituímos isso de volta na equação:

Resposta

Então, a derivada de em relação a é:

Exercícios relacionados

Determine a derivada em cada caso:
Seja uma função diferenciável até a segunda ordem e seja dada por . Verifique que .
Use a derivação logarítmica para determinar :
.
Expresse em termos de e , onde é uma função derivável dada implicitamente pela equação:
.