Expresse, na forma de uma integral dependente da função
, a carga
interna a uma espera de raio
concêntrica com a distribuição de carga.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma distribuição de carga descrita pela função
. Queremos encontrar a carga total
que está dentro de uma esfera de raio
, sendo que essa esfera está concêntrica com a distribuição de carga. Isso envolve conceitos de cálculo de integrais e geometria esférica. Vamos precisar usar a integral de volume em coordenadas esféricas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a carga total dentro de um volume usando a densidade de carga
. A carga total
em um volume
é dada pela integral da densidade sobre esse volume:
Aqui,
é o elemento de volume.
Passo 3
Como estamos trabalhando com uma esfera de raio
e a distribuição de carga é simétrica, é mais fácil usar coordenadas esféricas para realizar a integração. Em coordenadas esféricas, o elemento de volume
é dado por:
Onde:
-
varia de a -
varia de a -
varia de a
Passo 4
Vamos agora configurar a integral para calcular
. Substituímos
na expressão da carga:
Passo 5
Podemos simplificar essa integral porque a função
depende apenas de
e não de
ou
. Portanto, as integrais em
e
são integrais conhecidas:
- Integral em
de a é - Integral em
de a de é
Multiplicando esses resultados:
Passo 6
Agora, substituímos esses valores na expressão de
:
Resposta
A carga interna
é dada por: