Expresse, na forma de uma integral dependente da função rho, a carga Q int (r) interna a uma espera de raio r concêntrica com a distribuição de carga.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma distribuição de carga descrita pela função rho. Queremos encontrar a carga total Qint(r) que está dentro de uma esfera de raio r, sendo que essa esfera está concêntrica com a distribuição de carga. Isso envolve conceitos de cálculo de integrais e geometria esférica. Vamos precisar usar a integral de volume em coordenadas esféricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a carga total dentro de um volume usando a densidade de carga rho. A carga total Q em um volume V é dada pela integral da densidade sobre esse volume:
Q = integralV rho , dV
Aqui, dV é o elemento de volume.

Passo 3

Como estamos trabalhando com uma esfera de raio r e a distribuição de carga é simétrica, é mais fácil usar coordenadas esféricas para realizar a integração. Em coordenadas esféricas, o elemento de volume dV é dado por:
dV = r'^2 sintheta , dr' , dtheta , dphi
Onde:
  • r' varia de 0 a r
  • theta varia de 0 a pi
  • phi varia de 0 a 2pi

Passo 4

Vamos agora configurar a integral para calcular Qint(r). Substituímos dV na expressão da carga:
Qint(r) = integral0^r integral0^pi integral0^2pi rho(r') , r'^2 sintheta , dphi , dtheta , dr'

Passo 5

Podemos simplificar essa integral porque a função rho depende apenas de r' e não de theta ou phi. Portanto, as integrais em theta e phi são integrais conhecidas:
  • Integral em phi de 0 a 2pi é 2pi
  • Integral em theta de 0 a pi de sintheta , dtheta é 2
Multiplicando esses resultados:
2pi times 2 = 4pi

Passo 6

Agora, substituímos esses valores na expressão de Qint(r):
Qint(r) = 4pi integral0^r rho(r') , r'^2 , dr'

Resposta

A carga interna Qint(r) é dada por:
Qint(r) = 4pi integral0^r rho(r') , r'^2 , dr'

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