Expresse as funções F abaixo como f(g), de modo que f e g não sejam a função identidade.
(b) F(x) = 1/(x^2 - 1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para expressar a função como a composição de duas funções, ou seja, . Isso significa que vamos encontrar duas funções e de tal forma que, quando aplicamos primeiro e depois no resultado, a gente chegue na função . Importante: nem nem podem ser a função identidade (que basicamente retorna o próprio número que entra).

Passo 2

Primeiro, vamos pensar em como a gente pode quebrar a função em duas partes. Olhando para a expressão, vemos que temos um denominador que é . Vamos usar isso a nosso favor.
Vamos definir a função interna como aquilo que está no denominador:
Agora, queremos que a função receba o resultado de e dê o valor de . Como é , fazemos:
Aqui, eu usei como uma variável qualquer para facilitar a visualização.

Passo 3

Vamos verificar se essa composição realmente funciona:
Isso é exatamente igual à função que queremos expressar. Além disso, vamos checar se e não são funções identidade:
  • A função identidade seria . No nosso caso, não é igual a , então não é identidade.
  • Para , também não é igual a , então também não é a identidade.

Resposta

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