Expresse os polinômios abaixo como produtos de termos
, onde
são suas raízes:
(e)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um polinômio
e precisamos escrevê-lo como um produto de termos da forma
, onde
são as raízes desse polinômio. Isso pertence à matéria de Álgebra, mais especificamente ao estudo de polinômios e suas raízes. Para resolver, vamos precisar fatorar o polinômio encontrando suas raízes.
Passo 2
Primeiro, vamos observar o polinômio
. Perceba que todo termo tem um fator comum de
. Quando isso acontece, a gente pode fatorar esse
para simplificar a expressão. Então, vamos tirar o
de cada termo:
Agora, nosso objetivo é fatorar o polinômio quadrático
.
Passo 3
Para fatorar
, vamos encontrar as raízes desse polinômio, ou seja, os valores de
que fazem
. Para isso, vamos usar a fórmula de Bhaskara, que é uma ferramenta fundamental para resolver equações quadráticas.
A fórmula de Bhaskara é:
Aqui,
,
e
.
Passo 4
Vamos calcular o discriminante (
) primeiro:
Como
, temos duas raízes reais e distintas.
Passo 5
Agora, vamos encontrar as raízes usando a fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá duas soluções:
Então, as raízes do polinômio quadrático são
e
.
Passo 6
Com as raízes em mãos, podemos escrever o polinômio quadrático como um produto de fatores:
Agora, substituindo de volta na expressão que fatoramos anteriormente:
Resposta
O polinômio
pode ser expresso como produto de termos
onde
são as suas raízes:
Exercícios relacionados
Considerando
, encontre as soluções das seguintes inequações:
(d)
(d)
Expresse os polinômios abaixo como produtos de termos
, onde
são suas raízes:
(d)
(d)
Sejam os conjuntos
e
, determine:
(b)
(b)
Determine os intervalos da reta real associados aos conjuntos:
(a)
(a)