Expresse os polinômios abaixo como produtos de termos , onde são suas raízes:
(e)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um polinômio e precisamos escrevê-lo como um produto de termos da forma , onde são as raízes desse polinômio. Isso pertence à matéria de Álgebra, mais especificamente ao estudo de polinômios e suas raízes. Para resolver, vamos precisar fatorar o polinômio encontrando suas raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos observar o polinômio . Perceba que todo termo tem um fator comum de . Quando isso acontece, a gente pode fatorar esse para simplificar a expressão. Então, vamos tirar o de cada termo:
Agora, nosso objetivo é fatorar o polinômio quadrático .

Passo 3

Para fatorar , vamos encontrar as raízes desse polinômio, ou seja, os valores de que fazem . Para isso, vamos usar a fórmula de Bhaskara, que é uma ferramenta fundamental para resolver equações quadráticas.
A fórmula de Bhaskara é:
Aqui, , e .

Passo 4

Vamos calcular o discriminante ( ) primeiro:
Como , temos duas raízes reais e distintas.

Passo 5

Agora, vamos encontrar as raízes usando a fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá duas soluções:
Então, as raízes do polinômio quadrático são e .

Passo 6

Com as raízes em mãos, podemos escrever o polinômio quadrático como um produto de fatores:
Agora, substituindo de volta na expressão que fatoramos anteriormente:

Resposta

O polinômio pode ser expresso como produto de termos onde são as suas raízes:

Exercícios relacionados

Considerando , encontre as soluções das seguintes inequações:
(d)
Expresse os polinômios abaixo como produtos de termos , onde são suas raízes:
(d)
Sejam os conjuntos e , determine:
(b)
Determine os intervalos da reta real associados aos conjuntos:
(a)